Seja
uma constante. Se
determine em quais pontos
esta função é diferenciável e calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar em quais pontos a função
é diferenciável e calcular a derivada
. Estamos trabalhando com funções de
para
e a função é definida por
, onde
é uma constante real. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável e como calcular sua derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser diferenciável em um ponto. Uma função é diferenciável em um ponto se ela pode ser aproximada por uma transformação linear nesse ponto. No contexto de funções entre espaços vetoriais, como
para
, isso significa que a função deve ter uma derivada que é uma matriz que aproxima a função perto de cada ponto.
Passo 3
Agora, observamos que a função
é uma função linear. Isso porque, para qualquer vetor
e escalar
, a combinação linear é garantida. Funções lineares têm a propriedade especial de serem diferenciáveis em todos os pontos do seu domínio.
Passo 4
Como a função é linear, a derivada dela em qualquer ponto é a própria transformação linear. Ou seja, a derivada
é simplesmente a matriz que representa a multiplicação por
. Em termos matriciais, isso é uma matriz diagonal com
nas diagonais e zeros fora delas.
Passo 5
Para ser mais concreto, em
, a matriz derivada será uma matriz
onde cada entrada na diagonal principal é
e todas as outras entradas são zero. Isso porque cada componente da função
depende linearmente apenas da sua própria coordenada de entrada, multiplicada por
.
Resposta
A função
é diferenciável em todos os pontos de
, e a derivada
é a matriz diagonal de ordem
com
nas diagonais e zeros nas demais posições. Em forma de matriz, fica assim: