Seja lambda in R uma constante. Se
F: R^m & longrightarrow R^m x & longmapsto lambda x
determine em quais pontos x in R^m esta função é diferenciável e calcule D F(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar em quais pontos a função F é diferenciável e calcular a derivada D F(x). Estamos trabalhando com funções de R^m para R^m e a função é definida por F(x) = lambda x, onde lambda é uma constante real. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável e como calcular sua derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser diferenciável em um ponto. Uma função é diferenciável em um ponto se ela pode ser aproximada por uma transformação linear nesse ponto. No contexto de funções entre espaços vetoriais, como R^m para R^m, isso significa que a função deve ter uma derivada que é uma matriz que aproxima a função perto de cada ponto.

Passo 3

Agora, observamos que a função F(x) = lambda x é uma função linear. Isso porque, para qualquer vetor x e escalar lambda, a combinação linear é garantida. Funções lineares têm a propriedade especial de serem diferenciáveis em todos os pontos do seu domínio.

Passo 4

Como a função é linear, a derivada dela em qualquer ponto é a própria transformação linear. Ou seja, a derivada D F(x) é simplesmente a matriz que representa a multiplicação por lambda. Em termos matriciais, isso é uma matriz diagonal com lambda nas diagonais e zeros fora delas.

Passo 5

Para ser mais concreto, em R^m, a matriz derivada será uma matriz m times m onde cada entrada na diagonal principal é lambda e todas as outras entradas são zero. Isso porque cada componente da função F depende linearmente apenas da sua própria coordenada de entrada, multiplicada por lambda.

Resposta

A função F é diferenciável em todos os pontos de R^m, e a derivada D F(x) é a matriz diagonal de ordem m com lambda nas diagonais e zeros nas demais posições. Em forma de matriz, fica assim:
D F(x) = lambda & 0 & cdots & 0 0 & lambda & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & cdots & lambda

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