Determine todos os elementos f in S3 tais que f^2=e.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar todos os elementos no grupo simétrico que, quando aplicados duas vezes ( ), dão a identidade . Isso está dentro da matéria de Teoria dos Grupos, especificamente sobre grupos simétricos e ordem dos elementos. Para resolver, vamos precisar saber quais são os elementos de e verificar quais deles satisfazem .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o grupo simétrico é o conjunto de todas as permutações dos três elementos . Em , temos 6 permutações no total. Vamos listar todas elas:
  1. (a identidade, que não troca nada):
  2. (troca 1 e 2)
  3. (troca 1 e 3)
  4. (troca 2 e 3)
  5. (ciclo que manda 1 para 2, 2 para 3, e 3 para 1)
  6. (ciclo que manda 1 para 3, 3 para 2, e 2 para 1)

Passo 3

Agora, queremos encontrar quais dessas permutações satisfazem . Isso significa que, se aplicarmos a permutação duas vezes, voltamos ao ponto de partida.
Vamos verificar cada uma:
  1. : Aplicar a identidade qualquer número de vezes sempre dá a identidade. Então, .
  2. : Se aplicarmos duas vezes:
    • Primeira aplicação: 1 vai para 2 e 2 vai para 1.
    • Segunda aplicação: 2 volta para 1 e 1 volta para 2.
    • Resultado: volta à identidade .
  3. : Similar ao anterior:
    • .
  4. : Também:
    • .
  5. :
    • Aplicando uma vez: 1 → 2, 2 → 3, 3 → 1.
    • Aplicando de novo: 2 → 3, 3 → 1, 1 → 2.
    • Resultado: , que não é a identidade.
  6. :
    • Similar ao anterior, ao aplicar duas vezes, não resulta na identidade.

Passo 4

Observamos que as permutações e não satisfazem , pois elas têm ordem 3. Já as permutações , , e a identidade têm ordem 1 ou 2, satisfazendo a condição .

Resposta

Os elementos de e, (1,2), (1,3), (2,3) que satisfazem são:

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