Determine todos os elementos
tais que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar todos os elementos
no grupo simétrico
que, quando aplicados duas vezes (
), dão a identidade
. Isso está dentro da matéria de Teoria dos Grupos, especificamente sobre grupos simétricos e ordem dos elementos. Para resolver, vamos precisar saber quais são os elementos de
e verificar quais deles satisfazem
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o grupo simétrico
é o conjunto de todas as permutações dos três elementos
. Em
, temos 6 permutações no total. Vamos listar todas elas:
-
(a identidade, que não troca nada): -
(troca 1 e 2) -
(troca 1 e 3) -
(troca 2 e 3) -
(ciclo que manda 1 para 2, 2 para 3, e 3 para 1) -
(ciclo que manda 1 para 3, 3 para 2, e 2 para 1)
Passo 3
Agora, queremos encontrar quais dessas permutações satisfazem
. Isso significa que, se aplicarmos a permutação duas vezes, voltamos ao ponto de partida.
Vamos verificar cada uma:
-
: Aplicar a identidade qualquer número de vezes sempre dá a identidade. Então, . -
: Se aplicarmos duas vezes: - Primeira aplicação: 1 vai para 2 e 2 vai para 1.
- Segunda aplicação: 2 volta para 1 e 1 volta para 2.
- Resultado: volta à identidade
.
-
: Similar ao anterior: -
.
-
-
: Também: -
.
-
-
: - Aplicando uma vez: 1 → 2, 2 → 3, 3 → 1.
- Aplicando de novo: 2 → 3, 3 → 1, 1 → 2.
- Resultado:
, que não é a identidade.
-
: - Similar ao anterior, ao aplicar duas vezes, não resulta na identidade.
Passo 4
Observamos que as permutações
e
não satisfazem
, pois elas têm ordem 3. Já as permutações
,
,
e a identidade
têm ordem 1 ou 2, satisfazendo a condição
.
Resposta
Os elementos de
que satisfazem
são: