Seja um elemento de um grupo. Se e , prove que e .
Passo 1
Vamos lá! O enunciado nos diz que temos um elemento de um grupo, com as propriedades e . O nosso objetivo é provar que e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de teoria de grupos, especificamente sobre a ordem de um elemento e propriedades de potências em grupos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa . Isso indica que o elemento elevado à sexta potência resulta no elemento neutro do grupo. A menor potência positiva de que resulta em é chamada de ordem de .
Passo 3
Sabemos que , o que significa que a ordem de não é 2. Como , a ordem de deve ser um divisor de 6 pela definição de ordem de um elemento em um grupo. Os divisores de 6 são 1, 2, 3 e 6.
Passo 4
Como , descartamos a possibilidade de a ordem de ser 1 ou 2. Portanto, a ordem de pode ser 3 ou 6.
Passo 5
Vamos considerar a ordem de sendo 3. Se a ordem é 3, então . Mas, se elevarmos novamente, temos , o que está de acordo com o enunciado. No entanto, se a ordem fosse 3, então , o que não interfere diretamente nas potências e .
Passo 6
Agora, vamos considerar a ordem de sendo 6. Isso significa que e nenhuma potência menor que 6 resulta no elemento neutro. Ou seja, para todo .