Seja
um elemento de um grupo. Se
e
, prove que
e
.
Passo 1
Vamos lá! O enunciado nos diz que temos um elemento
de um grupo, com as propriedades
e
. O nosso objetivo é provar que
e
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de teoria de grupos, especificamente sobre a ordem de um elemento e propriedades de potências em grupos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso indica que o elemento
elevado à sexta potência resulta no elemento neutro
do grupo. A menor potência positiva de
que resulta em
é chamada de ordem de
.
Passo 3
Sabemos que
, o que significa que a ordem de
não é 2. Como
, a ordem de
deve ser um divisor de 6 pela definição de ordem de um elemento em um grupo. Os divisores de 6 são 1, 2, 3 e 6.
Passo 4
Como
, descartamos a possibilidade de a ordem de
ser 1 ou 2. Portanto, a ordem de
pode ser 3 ou 6.
Passo 5
Vamos considerar a ordem de
sendo 3. Se a ordem é 3, então
. Mas, se elevarmos
novamente, temos
, o que está de acordo com o enunciado. No entanto, se a ordem fosse 3, então
, o que não interfere diretamente nas potências
e
.
Passo 6
Agora, vamos considerar a ordem de
sendo 6. Isso significa que
e nenhuma potência menor que 6 resulta no elemento neutro. Ou seja,
para todo
.
Passo 7
Se a ordem de
é 6, então:
Isso mostra que
e
quando a ordem de
é 6.
Resposta
Portanto, dado que
e
, concluímos que
e
.