Beleza, vamos lá! A gente tem um grupo abeliano e dois elementos e desse grupo. Além disso, temos um número inteiro . A missão é provar que quando a gente eleva a combinação à potência , dá igual a elevar e separadamente à potência e depois combinar os resultados. Ou seja, mostrar que:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de teoria de grupos, como a definição de grupo abeliano (onde a operação é comutativa) e as propriedades das potências em grupos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um grupo abeliano. Um grupo é abeliano se a operação é comutativa, ou seja, para quaisquer , temos que:
Isso é importante porque nos permite trocar a ordem dos elementos sem alterar o resultado.
Passo 3
Agora, vamos entender o que significa elevar um elemento do grupo a uma potência inteira. Para um elemento e um inteiro , definimos:
Se é positivo, é multiplicado por si mesmo vezes.
Se , é o elemento neutro do grupo, que chamamos de .
Se é negativo, é o inverso de elevado à potência .
Passo 4
Vamos começar provando o caso quando é positivo. Queremos mostrar que:
Vamos expandir o lado esquerdo:
Como o grupo é abeliano, podemos rearranjar os termos:
= underbracea * a * dots * am vezes * underbraceb * b * dots * bm vezes = a^m * b^m
Assim, para m positivo, a igualdade vale.
Passo 5
Agora, vamos considerar o caso quando m = 0. Nesse caso:
(a * b)^0 = e
E também:
a^0 * b^0 = e * e = e
Então, a igualdade também vale para m = 0.
Passo 6
Por último, vamos tratar quando m é negativo. Seja m = -n, onde n é positivo. Então:
(a * b)^m = (a * b)^-n = ( (a * b)^n )^-1
Pelo que já provamos para m positivo:
= ( a^n * b^n )^-1 = (a^n)^-1 * (b^n)^-1
Como o grupo é abeliano, a ordem dos inversos não importa:
= a^-n * b^-n = a^m * b^m
Assim, a igualdade também vale para m negativo.
Resposta
Portanto, mostramos que para qualquer inteiro m, em um grupo abeliano (G, *), vale: