Seja ( G, *) um grupo abeliano. Prove que se a, b in(G, *) e m in Z então (a * b)^m=a^m * b^m.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um grupo abeliano (G, *) e dois elementos a e b desse grupo. Além disso, temos um número inteiro m. A missão é provar que quando a gente eleva a combinação a * b à potência m, dá igual a elevar a e b separadamente à potência m e depois combinar os resultados. Ou seja, mostrar que:
(a * b)^m = a^m * b^m
Para resolver isso, vamos usar conceitos de teoria de grupos, como a definição de grupo abeliano (onde a operação é comutativa) e as propriedades das potências em grupos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um grupo abeliano. Um grupo (G, *) é abeliano se a operação * é comutativa, ou seja, para quaisquer x, y in G, temos que:
x * y = y * x
Isso é importante porque nos permite trocar a ordem dos elementos sem alterar o resultado.

Passo 3

Agora, vamos entender o que significa elevar um elemento do grupo a uma potência inteira. Para um elemento a in G e um inteiro m, definimos:
  • Se m é positivo, a^m é a multiplicado por si mesmo m vezes.
  • Se m = 0, a^0 é o elemento neutro do grupo, que chamamos de e.
  • Se m é negativo, a^m é o inverso de a elevado à potência |m|.

Passo 4

Vamos começar provando o caso quando m é positivo. Queremos mostrar que:
(a * b)^m = a^m * b^m
Vamos expandir o lado esquerdo:
(a * b)^m = underbrace(a * b) * (a * b) * dots * (a * b)m vezes
Como o grupo é abeliano, podemos rearranjar os termos:
= underbracea * a * dots * am vezes * underbraceb * b * dots * bm vezes = a^m * b^m
Assim, para m positivo, a igualdade vale.

Passo 5

Agora, vamos considerar o caso quando m = 0. Nesse caso:
(a * b)^0 = e
E também:
a^0 * b^0 = e * e = e
Então, a igualdade também vale para m = 0.

Passo 6

Por último, vamos tratar quando m é negativo. Seja m = -n, onde n é positivo. Então:
(a * b)^m = (a * b)^-n = ( (a * b)^n )^-1
Pelo que já provamos para m positivo:
= ( a^n * b^n )^-1 = (a^n)^-1 * (b^n)^-1
Como o grupo é abeliano, a ordem dos inversos não importa:
= a^-n * b^-n = a^m * b^m
Assim, a igualdade também vale para m negativo.

Resposta

Portanto, mostramos que para qualquer inteiro m, em um grupo abeliano (G, *), vale:
(a * b)^m = a^m * b^m

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Determine os inversos de 25 e 39 em (Z97,+).
Construa as tábuas de operações dos grupos:
a) (Z7,+)
Seja (G, *) um grupo e a in G com |a|=n e n=r cdot s. Seja m in Z, arbitrário, prove que:
i) |a^r|=s;