Determine todos os elementos
tais que
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar todos os elementos
no grupo simétrico
tais que
, onde
é a permutação identidade. Conteúdo envolvido: Teoria dos grupos, especificamente sobre o grupo simétrico e a ordem dos elementos. O que vamos precisar: Entender como funcionam as permutações em
e como calcular a potência de uma permutação.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que o grupo simétrico
é o conjunto de todas as permutações possíveis de três elementos. Em
, existem 6 permutações no total.
Passo 3
Vamos listar todas as permutações em
:
-
(a identidade): não muda nada. -
: troca o 1 pelo 2. -
: troca o 1 pelo 3. -
: troca o 2 pelo 3. -
: envia 1 para 2, 2 para 3 e 3 para 1. -
: envia 1 para 3, 3 para 2 e 2 para 1.
Passo 4
Agora, vamos calcular
para cada permutação e verificar se resulta na identidade
:
-
Para
: -
Para
: Não é igual a. -
Para
: Não é igual a. -
Para
: Não é igual a. -
Para
: Igual a. -
Para
: Igual a.
Resposta
Os elementos
em
que satisfazem
são a identidade
e as permutações cíclicas
e
.
Exercícios relacionados
Prove que
é cíclico. Encontre todos os seus geradores.
Prove que:
b) , se p é primo e r é natural.
b)
O grupo
, .
é cíclico?
Seja
a seguinte permutação de
:
Calcule a ordem de
e a potência
.