Determine todos os elementos f in S3 tais que f^3=e.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar todos os elementos no grupo simétrico tais que , onde é a permutação identidade. Conteúdo envolvido: Teoria dos grupos, especificamente sobre o grupo simétrico e a ordem dos elementos. O que vamos precisar: Entender como funcionam as permutações em e como calcular a potência de uma permutação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que o grupo simétrico é o conjunto de todas as permutações possíveis de três elementos. Em , existem 6 permutações no total.

Passo 3

Vamos listar todas as permutações em :
  1. (a identidade): não muda nada.
  2. : troca o 1 pelo 2.
  3. : troca o 1 pelo 3.
  4. : troca o 2 pelo 3.
  5. : envia 1 para 2, 2 para 3 e 3 para 1.
  6. : envia 1 para 3, 3 para 2 e 2 para 1.

Passo 4

Agora, vamos calcular e^3 = e para cada permutação e verificar se resulta na identidade (1,2)^2 = e (porque trocar duas vezes retorna ao original) :
  1. Para (1,2)^3 = (1,2)^2 cdot (1,2) = e cdot (1,2) = (1,2) :
    (1,3)^3 = (1,3)
  2. Para (2,3)^3 = (2,3) :
    (1,2,3)^2 = (1,3,2)
    (1,2,3)^3 = (1,2,3) cdot (1,3,2) = e
    Não é igual a (1,3,2)^2 = (1,2,3) .
  3. Para (1,3,2)^3 = (1,3,2) cdot (1,2,3) = e :
    Não é igual a .
  4. Para :
    Não é igual a .
  5. Para :
    Igual a .
  6. Para :
    Igual a .

Resposta

Os elementos em que satisfazem são a identidade e as permutações cíclicas e .

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