O grupo (Z5 ^*, . ) é cíclico?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pergunta se o grupo (Z5^*, cdot) é cíclico. Isso tá relacionado ao estudo de grupos na matemática, especificamente grupos multiplicativos de unidades módulo 5. Para resolver, vamos precisar entender o que é um grupo cíclico e identificar os elementos desse grupo.

Passo 2

Primeiro, Z5^* representa o conjunto dos números inteiros que são invertíveis módulo 5, ou seja, números que não têm divisores comuns com 5 além de 1. Então, Z5^* = 1, 2, 3, 4.

Passo 3

Agora, vamos ver o que significa um grupo ser cíclico. Um grupo é cíclico se existe um elemento, chamado gerador, que, ao ser elevado a todas as potências possíveis (até a ordem do grupo), gera todos os elementos do grupo.

Passo 4

A ordem do grupo Z5^* é 4, porque temos 4 elementos. Então, precisamos encontrar se algum desses elementos gera todos os quatro elementos quando multiplicados entre si módulo 5.

Passo 5

Vamos testar cada elemento:
  • Elemento 1:
    • 1^1 equiv 1 mod 5
    • Só gera 1. Não serve.
  • Elemento 2:
    • 2^1 equiv 2 mod 5
    • 2^2 equiv 4 mod 5
    • 2^3 equiv 3 mod 5
    • 2^4 equiv 1 mod 5
    • Gera 1, 2, 4, 3, que são todos os elementos. Perfeito!
  • Elemento 3:
    • 3^1 equiv 3 mod 5
    • 3^2 equiv 4 mod 5
    • 3^3 equiv 2 mod 5
    • 3^4 equiv 1 mod 5
    • Também gera todos os elementos.
  • Elemento 4:
    • 4^1 equiv 4 mod 5
    • 4^2 equiv 1 mod 5
    • Só gera 1, 4. Não serve.

Passo 6

Vimos que os elementos 2 e 3 conseguem gerar todo o grupo através de suas potências, ou seja, são geradores.

Resposta

Sim, o grupo (Z5^*, cdot) é cíclico, e seus geradores são os elementos 2 e 3.

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