O grupo
, .
é cíclico?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pergunta se o grupo
é cíclico. Isso tá relacionado ao estudo de grupos na matemática, especificamente grupos multiplicativos de unidades módulo 5. Para resolver, vamos precisar entender o que é um grupo cíclico e identificar os elementos desse grupo.
Passo 2
Primeiro,
representa o conjunto dos números inteiros que são invertíveis módulo 5, ou seja, números que não têm divisores comuns com 5 além de 1. Então,
.
Passo 3
Agora, vamos ver o que significa um grupo ser cíclico. Um grupo é cíclico se existe um elemento, chamado gerador, que, ao ser elevado a todas as potências possíveis (até a ordem do grupo), gera todos os elementos do grupo.
Passo 4
A ordem do grupo
é 4, porque temos 4 elementos. Então, precisamos encontrar se algum desses elementos gera todos os quatro elementos quando multiplicados entre si módulo 5.
Passo 5
Vamos testar cada elemento:
-
Elemento 1:
-
- Só gera 1. Não serve.
-
-
Elemento 2:
-
-
-
-
- Gera
, que são todos os elementos. Perfeito!
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Elemento 3:
-
-
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- Também gera todos os elementos.
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Elemento 4:
-
-
- Só gera
. Não serve.
-
Passo 6
Vimos que os elementos 2 e 3 conseguem gerar todo o grupo através de suas potências, ou seja, são geradores.
Resposta
Sim, o grupo
é cíclico, e seus geradores são os elementos 2 e 3.
Exercícios relacionados
Determine todos os elementos
tais que
.
Prove que
é cíclico. Encontre todos os seus geradores.
Seja
a seguinte permutação de
:
Calcule a ordem de
e a potência
.
Prove que o Elemento Identidade é único.