Seja lambda a seguinte permutação de S10 :
lambda=(cccccccccc 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 8 & 7 & 5 & 9 & 4 & 10 & 2 & 6 & 3 & 1 )
Calcule a ordem de lambda e a potência lambda^2017.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá uma permutação lambda no conjunto dos números de 1 a 10 e pede para a gente descobrir duas coisas: a ordem de lambda e a potência lambda^2017. Para isso, vamos precisar entender como decompor lambda em ciclos e usar um pouco de teoria de permutações. Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma permutação e como ela funciona. Basicamente, uma permutação rearranja os elementos de um conjunto. No nosso caso, temos os números de 1 a 10 sendo rearranjados pela permutação lambda.
O próximo passo é decompor lambda em ciclos. Um ciclo mostra como os números são trocados entre si. Para fazer isso, começamos com o primeiro número e vemos para onde ele vai, e continuamos esse processo até voltar ao número inicial.
Vamos decompor lambda:
  • Começamos com 1:
    • 1 vai para 8 ( lambda(1) = 8)
    • 8 vai para 6 ( lambda(8) = 6)
    • 6 vai para 10 ( lambda(6) = 10)
    • 10 vai de volta para 1 ( lambda(10) = 1)
    Então, temos o ciclo (1,8,6,10).
  • Agora, escolhemos o próximo número que ainda não está em nenhum ciclo, que é o 2:
    • 2 vai para 7 ( lambda(2) = 7)
    • 7 vai de volta para 2 ( lambda(7) = 2)
    Então, temos o ciclo (2,7).
  • Continuamos com o próximo número não utilizado, que é o 3:
    • 3 vai para 5 ( lambda(3) = 5)
    • 5 vai para 4 ( lambda(5) = 4)
    • 4 vai para 9 ( lambda(4) = 9)
    • 9 vai de volta para 3 ( lambda(9) = 3)
    Então, temos o ciclo (3,5,4,9).
Agora que todos os números estão incluídos em ciclos, a decomposição completa de lambda é:
lambda = (1,8,6,10)(2,7)(3,5,4,9)

Passo 3

Agora que temos lambda decomposta em ciclos, podemos determinar a ordem de lambda. A ordem de uma permutação é o menor número de vezes que precisamos aplicar a permutação para que todos os elementos voltem às suas posições originais.
Para encontrar isso, olhamos para os comprimentos dos ciclos:
  • (1,8,6,10) tem 4 elementos.
  • (2,7) tem 2 elementos.
  • (3,5,4,9) tem 4 elementos.
A ordem de lambda será o mínimo múltiplo comum (MMC) desses comprimentos. O MMC de 4, 2 e 4 é:
MMC(4, 2, 4) = 4
Então, a ordem de lambda é 4.

Passo 4

Vamos agora calcular a potência lambda^2017. Para isso, utilizamos a decomposição em ciclos que já fizemos e aplicamos a potência a cada ciclo individualmente.
A regra é que, para cada ciclo de comprimento k, lambda^m dentro desse ciclo será equivalente a girar os elementos m mod k vezes.
Vamos aplicar isso a cada ciclo:
  1. Ciclo (1,8,6,10) com comprimento 4:
    • 2017 mod 4 = 1 (porque 2017 = 4 times 504 + 1)
    • Então, lambda^2017 nesse ciclo será equivalente a girar 1 vez: (1,8,6,10)^1 = (1,8,6,10)
  2. Ciclo (2,7) com comprimento 2:
    • 2017 mod 2 = 1
    • Então, lambda^2017 nesse ciclo será: (2,7)^1 = (2,7)
  3. Ciclo (3,5,4,9) com comprimento 4:
    • 2017 mod 4 = 1
    • Então, lambda^2017 nesse ciclo será: (3,5,4,9)^1 = (3,5,4,9)
Juntando tudo, temos:
lambda^2017 = (1,8,6,10)(2,7)(3,5,4,9)

Resposta

A ordem de lambda é 4 e a potência lambda^2017 é:
lambda^2017 = (1,8,6,10)(2,7)(3,5,4,9)

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