Seja
a seguinte permutação de
:
Calcule a ordem de
e a potência
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá uma permutação
no conjunto dos números de 1 a 10 e pede para a gente descobrir duas coisas: a ordem de
e a potência
. Para isso, vamos precisar entender como decompor
em ciclos e usar um pouco de teoria de permutações. Bora lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma permutação e como ela funciona. Basicamente, uma permutação rearranja os elementos de um conjunto. No nosso caso, temos os números de 1 a 10 sendo rearranjados pela permutação
.
O próximo passo é decompor
em ciclos. Um ciclo mostra como os números são trocados entre si. Para fazer isso, começamos com o primeiro número e vemos para onde ele vai, e continuamos esse processo até voltar ao número inicial.
Vamos decompor
:
-
Começamos com 1:
-
vai para ( ) -
vai para ( ) -
vai para ( ) -
vai de volta para ( )
Então, temos o ciclo. -
-
Agora, escolhemos o próximo número que ainda não está em nenhum ciclo, que é o 2:
-
vai para ( ) -
vai de volta para ( )
Então, temos o ciclo. -
-
Continuamos com o próximo número não utilizado, que é o 3:
-
vai para ( ) -
vai para ( ) -
vai para ( ) -
vai de volta para ( )
Então, temos o ciclo. -
Agora que todos os números estão incluídos em ciclos, a decomposição completa de
é:
Passo 3
Agora que temos
decomposta em ciclos, podemos determinar a ordem de
. A ordem de uma permutação é o menor número de vezes que precisamos aplicar a permutação para que todos os elementos voltem às suas posições originais.
Para encontrar isso, olhamos para os comprimentos dos ciclos:
-
tem 4 elementos. -
tem 2 elementos. -
tem 4 elementos.
A ordem de
será o mínimo múltiplo comum (MMC) desses comprimentos. O MMC de 4, 2 e 4 é:
Então, a ordem de
é 4.
Passo 4
Vamos agora calcular a potência
. Para isso, utilizamos a decomposição em ciclos que já fizemos e aplicamos a potência a cada ciclo individualmente.
A regra é que, para cada ciclo de comprimento
,
dentro desse ciclo será equivalente a girar os elementos
vezes.
Vamos aplicar isso a cada ciclo:
-
Ciclo
com comprimento 4: -
(porque ) - Então,
nesse ciclo será equivalente a girar 1 vez:
-
-
Ciclo
com comprimento 2: -
- Então,
nesse ciclo será:
-
-
Ciclo
com comprimento 4: -
- Então,
nesse ciclo será:
-
Juntando tudo, temos:
Resposta
A ordem de
é 4 e a potência
é:
Exercícios relacionados
O grupo
, .
é cíclico?
Determine todos os elementos
tais que
.
Prove que o Elemento Identidade é único.
Sejam
. Prove que: