Prove que (Z6,+) é cíclico. Encontre todos os seus geradores.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que o conjunto dos inteiros módulo 6, escrito como (Z6,+), é um grupo cíclico. Além disso, precisamos encontrar todos os seus geradores. Para isso, vamos usar conceitos de teoria dos grupos, especificamente sobre grupos cíclicos e geradores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um grupo cíclico. Um grupo é cíclico se existe pelo menos um elemento no grupo que, ao ser somado repetidamente, gera todos os elementos do grupo. Esse elemento é chamado de gerador.

Passo 3

No caso de (Z6,+), estamos falando dos números 0, 1, 2, 3, 4, 5 com a operação de soma módulo 6. Para provar que é cíclico, precisamos encontrar pelo menos um elemento que gere todo o grupo.

Passo 4

Vamos testar cada elemento para ver se ele pode gerar todo o grupo:
  • Elemento 0: Soma repetida de 0 sempre dá 0. Não gera o grupo todo.
  • Elemento 1: 1, 1+1=2, 2+1=3, 3+1=4, 4+1=5, 5+1=0 Gera 0,1,2,3,4,5. Então, 1 é gerador.
  • Elemento 2: 2, 2+2=4, 4+2=0 Gera 0,2,4. Não gera o grupo todo.
  • Elemento 3: 3, 3+3=0 Gera 0,3. Não gera o grupo todo.
  • Elemento 4: 4, 4+4=2, 2+4=0 Gera 0,2,4. Não gera o grupo todo.
  • Elemento 5: 5, 5+5=4, 4+5=3, 3+5=2, 2+5=1, 1+5=0 Gera 0,5,4,3,2,1. Gera o grupo todo. Então, 5 é gerador.

Resposta

Portanto, (Z6,+) é um grupo cíclico, e seus geradores são os elementos 1 e 5.

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Prove que:
b) varphi(p^r)=p^r-p^r-1, se p é primo e r é natural.
Seja (G, *) um grupo e a in G. Prove que se |a|=n então temos que para todo m in Z:
a^m=e Leftrightarrow n mid m
Determine todos os elementos f in S3 tais que f^3=e.
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