Prove que
é cíclico. Encontre todos os seus geradores.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que o conjunto dos inteiros módulo 6, escrito como
, é um grupo cíclico. Além disso, precisamos encontrar todos os seus geradores. Para isso, vamos usar conceitos de teoria dos grupos, especificamente sobre grupos cíclicos e geradores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um grupo cíclico. Um grupo é cíclico se existe pelo menos um elemento no grupo que, ao ser somado repetidamente, gera todos os elementos do grupo. Esse elemento é chamado de gerador.
Passo 3
No caso de
, estamos falando dos números
com a operação de soma módulo 6. Para provar que é cíclico, precisamos encontrar pelo menos um elemento que gere todo o grupo.
Passo 4
Vamos testar cada elemento para ver se ele pode gerar todo o grupo:
- Elemento 0: Soma repetida de 0 sempre dá 0. Não gera o grupo todo.
- Elemento 1:
Gera . Então, 1 é gerador. - Elemento 2:
Gera . Não gera o grupo todo. - Elemento 3:
Gera . Não gera o grupo todo. - Elemento 4:
Gera . Não gera o grupo todo. - Elemento 5:
Gera . Gera o grupo todo. Então, 5 é gerador.
Resposta
Portanto,
é um grupo cíclico, e seus geradores são os elementos
e
.
Exercícios relacionados
Prove que:
b) , se p é primo e r é natural.
b)
Seja
um grupo e
. Prove que se
então temos que para todo
:
Determine todos os elementos
tais que
.
O grupo
, .
é cíclico?