Mostre que |exp(-2z)| < 1 se, e somente se, o ponto z se encontra no semiplano x > 0.

Passo 1

Vamos resolver o problema que pede para mostrar que se e somente se o ponto z está no semiplano . Para isso, vamos usar conceitos de números complexos e propriedades da função exponencial.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o número complexo z na forma , onde x é a parte real e y é a parte imaginária de z.

Passo 3

A função exponencial de um número complexo z é dada por:
Então, podemos escrever como:

Passo 4

Para encontrar o módulo de , usamos que o módulo de um produto é o produto dos módulos:
Sabemos que e , pois . Portanto:

Passo 5

Queremos que , ou seja:
Sabemos que a função exponencial é menor que 1 se e somente se o expoente for negativo, o que ocorre quando .

Resposta

se e somente se o ponto z está no semiplano .

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