Mostre que
se, e somente se, o ponto
se encontra no semiplano
.
Passo 1
Vamos resolver o problema que pede para mostrar que
se e somente se o ponto
está no semiplano
. Para isso, vamos usar conceitos de números complexos e propriedades da função exponencial.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o número complexo
na forma
, onde
é a parte real e
é a parte imaginária de
.
Passo 3
A função exponencial de um número complexo
é dada por:
Então, podemos escrever
como:
Passo 4
Para encontrar o módulo de
, usamos que o módulo de um produto é o produto dos módulos:
Sabemos que
e
, pois
. Portanto:
Passo 5
Queremos que
, ou seja:
Sabemos que a função exponencial
é menor que 1 se e somente se o expoente
for negativo, o que ocorre quando
.