Nos exercícios, determine se a integral impropria é convergente ou divergente:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se a integral imprópria
é convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente sobre integrais impróprias que se estendem ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma integral ser imprópria. Uma integral é considerada imprópria quando um ou ambos os limites de integração são infinitos ou quando a função tem alguma descontinuidade no intervalo de integração. No nosso caso, o limite superior é
, então precisamos verificar o comportamento da função quando
cresce sem limites.
Passo 3
Para saber se a integral converge (ou seja, tem um valor finito) ou diverge (vai para infinito), podemos calcular o valor da integral e ver se esse valor é finito. Vamos começar calculando a integral definida de 3 a
, onde
tende ao infinito:
Passo 4
Vamos resolver essa integral. Primeiro, fazemos uma substituição para simplificar. Seja
, então
. Quando
,
, e quando
,
. A integral fica:
Passo 5
Agora, vamos integrar
. A antiderivada de
é:
Passo 6
Aplicando os limites de integração, temos:
Passo 7
Agora, vamos analisar o limite quando
tende ao infinito:
O termo
tende a 0 quando
vai para infinito, então o limite fica:
Resposta
A integral impropria
é convergente e seu valor é 2.