Nos exercícios, determine se a integral impropria é convergente ou divergente:
integral3^infty 1(x-2)^3 / 2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se a integral imprópria
integral3^infty 1(x-2)^3/2 , dx
é convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente sobre integrais impróprias que se estendem ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma integral ser imprópria. Uma integral é considerada imprópria quando um ou ambos os limites de integração são infinitos ou quando a função tem alguma descontinuidade no intervalo de integração. No nosso caso, o limite superior é , então precisamos verificar o comportamento da função quando cresce sem limites.

Passo 3

Para saber se a integral converge (ou seja, tem um valor finito) ou diverge (vai para infinito), podemos calcular o valor da integral e ver se esse valor é finito. Vamos começar calculando a integral definida de 3 a integral3^t 1(x-2)^3/2 , dx , onde tende ao infinito:

Passo 4

Vamos resolver essa integral. Primeiro, fazemos uma substituição para simplificar. Seja integral1^t-2 1u^3/2 , du , então . Quando , , e quando , . A integral fica:

Passo 5

Agora, vamos integrar integral u^-3/2 , du = -2 u^-1/2 + C = -2raizu + C . A antiderivada de é:

Passo 6

Aplicando os limites de integração, temos:
[ -2raizu ]1^t-2 = -2raizt-2 + 2raiz1 = -2raizt-2 + 2

Passo 7

Agora, vamos analisar o limite quando limt to infty ( -2raizt-2 + 2 ) tende ao infinito:
0 + 2 = 2
O termo tende a 0 quando vai para infinito, então o limite fica:

Resposta

A integral impropria
integral3^infty 1(x-2)^3/2 , dx
é convergente e seu valor é 2.

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