Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos mostrar que é diferente de a menos que z seja múltiplo de pi, ou seja, onde k é um número inteiro. Para resolver isso, vamos precisar conhecer algumas propriedades da exponencial complexa e como os números complexos se comportam quando conjugados.
Passo 2
Vamos começar relembrando que para um número complexo , seu conjugado é . Agora, vamos aplicar a função exponencial a e ao conjugado de z.
Passo 3
Calculando :
Usando a fórmula de Euler, isso se torna:
Passo 4
Agora, calculando o conjugado de :
Passo 5
Vamos calcular :
Usando a fórmula de Euler novamente:
Passo 6
Para que , devemos ter:
Isso implica que:
Passo 7
A equação só é verdadeira se . Além disso, ocorre quando , onde k é um inteiro. Portanto, .
Resposta
Assim, mostramos que é igual a somente quando , onde k é um número inteiro.