Mostre que exp(i * z_bar) != exp(i * z)_bar a menos que z = k pi, onde k ∈ Z.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos mostrar que é diferente de a menos que z seja múltiplo de pi, ou seja, onde k é um número inteiro. Para resolver isso, vamos precisar conhecer algumas propriedades da exponencial complexa e como os números complexos se comportam quando conjugados.

Passo 2

Vamos começar relembrando que para um número complexo , seu conjugado é . Agora, vamos aplicar a função exponencial a e ao conjugado de z.

Passo 3

Calculando :
Usando a fórmula de Euler, isso se torna:

Passo 4

Agora, calculando o conjugado de :

Passo 5

Vamos calcular :
Usando a fórmula de Euler novamente:

Passo 6

Para que , devemos ter:
Isso implica que:

Passo 7

A equação só é verdadeira se . Além disso, ocorre quando , onde k é um inteiro. Portanto, .

Resposta

Assim, mostramos que é igual a somente quando , onde k é um número inteiro.

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