Determine todos os números reais que satisfazem:

Passo 1

Vamos entender o problema: precisamos encontrar todos os números reais que satisfazem a inequação . Para resolver isso, vamos usar conhecimentos sobre valores absolutos e inequações.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a parte com o valor absoluto: . O valor absoluto pode ter dois comportamentos dependendo do sinal da expressão dentro dele. Então, vamos dividir a resolução em dois casos:
  1. Quando
  2. Quando

Passo 3

Caso 1:
Isso significa que , ou seja, ou .
Nesse caso, o valor absoluto se simplifica para . Assim, a inequação fica:
Simplificando:
Para resolver essa inequação quadrática, vamos encontrar as raízes da equação usando a fórmula de Bhaskara:
Agora, analisamos os intervalos determinados por essas raízes:
  • Para ou , a inequação é satisfeita.

Passo 4

Caso 2:
Isso significa que , ou seja, .
Nesse caso, o valor absoluto se simplifica para . Assim, a inequação fica:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por -1 (lembre-se de inverter o sinal da desigualdade):
Vamos encontrar as raízes da equação :
Então, e .
Agora, analisando os intervalos:
  • A inequação é satisfeita para .
Mas lembrando a restrição inicial do caso , o intervalo válido fica:

Resposta

Os números reais que satisfazem a inequação são todos aqueles que satisfazem ou .

Exercícios relacionados

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Prove que para todo .
Seja um número natural positivo.
(a) Calcule a soma dos primeiros números pares positivos.
(b) Calcule a soma dos primeiros números ímpares positivos.