Seja um número natural positivo.
(a) Calcule a soma dos primeiros números pares positivos.
(b) Calcule a soma dos primeiros números ímpares positivos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que tem duas partes. A primeira pede pra gente calcular a soma dos n primeiros números pares positivos e a segunda, a soma dos n primeiros números ímpares positivos. Para isso, vamos usar conceitos de progressão aritmética, que é basicamente uma sequência de números com uma diferença constante entre eles. Vamos precisar saber qual é o primeiro termo, a razão (diferença entre os termos) e quantos termos vamos somar.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a): soma dos n primeiros números pares positivos. Os números pares são aqueles divisíveis por 2, então a sequência começa em 2, 4, 6, 8, etc. Aqui, o primeiro termo é 2 e a razão é 2 (porque cada número par aumenta de 2 em 2).
A fórmula para a soma dos n termos de uma progressão aritmética é:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos para a parte (b): soma dos n primeiros números ímpares positivos. Os números ímpares são aqueles que não são divisíveis por 2, começando em 1, 3, 5, 7, etc. Aqui, o primeiro termo é 1 e a razão também é 2.
Usando a mesma fórmula da progressão aritmética:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Resposta
(a) A soma dos n primeiros números pares positivos é .
(b) A soma dos n primeiros números ímpares positivos é .