Determine todos os números reais que satisfazem:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar todos os números reais que satisfazem a desigualdade . A matéria envolvida aqui é a de resolução de inequações do segundo grau. Para resolver isso, vamos precisar manipular a inequação para isolar o termo que contém e analisar os valores que pode assumir.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a inequação para deixar o termo com isolado. Começamos subtraindo 5 de ambos os lados da desigualdade:

Passo 3

Agora, para facilitar a resolução, vamos multiplicar ambos os lados da inequação por . Mas atenção: quando multiplicamos ou dividimos ambos os lados de uma desigualdade por um número negativo, o sinal da desigualdade se inverte.

Passo 4

Aqui chegamos a . Vamos pensar no que isso significa. Sabemos que qualquer número real ao quadrado ( ) sempre resulta em um valor não negativo, ou seja, . Então, a inequação está perguntando: “quais valores de fazem com que seja maior que ?”

Passo 5

Como sempre é pelo menos 0 e 0 é maior que , essa inequação é verdadeira para todos os números reais. Não importa qual valor de você escolha, sempre vai ser maior que .

Resposta

Todos os números reais satisfazem a desigualdade .

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Seja um número natural positivo. Calcule a soma das primeiras potências de 2 .
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Prove que para todo .