Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que para todo . Isso está dentro da área de matemática discreta e inequações exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como comparar funções lineares e exponenciais e talvez usar indução matemática.
Passo 2
Primeiro, a gente verifica o caso inicial para garantir que a desigualdade vale para (já que ).
Calculando:
Então, é verdade.
Passo 3
Agora, vamos supor que a desigualdade vale para algum , ou seja:
Essa é a nossa hipótese de indução.
Passo 4
Precisamos mostrar que, se a desigualdade vale para , então também vale para , ou seja:
Simplificando o lado esquerdo:
E o lado direito:
Passo 5
Vamos usar a hipótese de indução para ajudar na prova. Observemos:
Então, precisamos provar que:
Isso simplifica para:
Passo 6
Como , sabemos que , então claramente , o que é verdade. Portanto, nossa suposição de indução mantém a desigualdade para .
Resposta
Assim, por indução matemática, provamos que para todo .