Prove que
para todo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que
para todo
. Isso está dentro da área de matemática discreta e inequações exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como comparar funções lineares e exponenciais e talvez usar indução matemática.
Passo 2
Primeiro, a gente verifica o caso inicial para garantir que a desigualdade vale para
(já que
).
Calculando:
Então,
é verdade.
Passo 3
Agora, vamos supor que a desigualdade vale para algum
, ou seja:
Essa é a nossa hipótese de indução.
Passo 4
Precisamos mostrar que, se a desigualdade vale para
, então também vale para
, ou seja:
Simplificando o lado esquerdo:
E o lado direito:
Passo 5
Vamos usar a hipótese de indução
para ajudar na prova. Observemos:
Então, precisamos provar que:
Isso simplifica para:
Passo 6
Como
, sabemos que
, então claramente
, o que é verdade. Portanto, nossa suposição de indução mantém a desigualdade para
.
Resposta
Assim, por indução matemática, provamos que
para todo
.