Prove que para todo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que para todo . Isso está dentro da área de matemática discreta e inequações exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como comparar funções lineares e exponenciais e talvez usar indução matemática.

Passo 2

Primeiro, a gente verifica o caso inicial para garantir que a desigualdade vale para (já que ).
Calculando:
Então, é verdade.

Passo 3

Agora, vamos supor que a desigualdade vale para algum , ou seja:
Essa é a nossa hipótese de indução.

Passo 4

Precisamos mostrar que, se a desigualdade vale para , então também vale para , ou seja:
Simplificando o lado esquerdo:
E o lado direito:

Passo 5

Vamos usar a hipótese de indução para ajudar na prova. Observemos:
Então, precisamos provar que:
Isso simplifica para:

Passo 6

Como , sabemos que , então claramente , o que é verdade. Portanto, nossa suposição de indução mantém a desigualdade para .

Resposta

Assim, por indução matemática, provamos que para todo .

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Determine todos os números reais que satisfazem:
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Seja um número natural positivo.
(a) Calcule a soma dos primeiros números pares positivos.
(b) Calcule a soma dos primeiros números ímpares positivos.
Determine todos os números reais que satisfazem:
(a)
(b)
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