Seja um número natural positivo. Calcule a soma das primeiras potências de 2 .

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente calcular a soma das primeiras potências de 2. Pra resolver isso, vamos usar conhecimentos sobre progressões geométricas e a fórmula da soma dos termos dessa sequência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que as potências de 2 formam uma progressão geométrica (PG), onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão comum. No caso das potências de 2, essa razão é .

Passo 3

A fórmula para a soma dos primeiros termos de uma PG é:
Onde:
  • é a soma dos termos
  • é o primeiro termo da PG
  • é a razão da PG

Passo 4

Aqui, o primeiro termo (porque a primeira potência de 2 é ) e a razão .
Substituindo esses valores na fórmula da soma:

Passo 5

Simplificando a expressão:

Resposta

A soma das primeiras potências de 2 é .

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