Determine todos os pontos críticos das funções dadas, classificando-os, quando possível.
© z = 4 - x^2 - 3y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar todos os pontos críticos da função e classificá-los quando possível. Aqui, estamos trabalhando com cálculo multivariável, especificamente com derivadas parciais para encontrar esses pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que são pontos críticos. Em funções de várias variáveis, um ponto crítico é onde todas as derivadas parciais da função são iguais a zero. Ou seja, precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e e igualá-las a zero.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
E agora, a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Agora, igualamos essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:

Passo 5

Encontramos que o único ponto crítico ocorre quando e . Portanto, o ponto crítico é .

Passo 6

Para classificar esse ponto crítico, usamos o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
ãá
Então, calculamos o discriminante :

Passo 7

Como e , isso significa que o ponto crítico é um ponto de máximo local.

Resposta

O ponto crítico é , que é um ponto de máximo local da função .

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