Determine todos os pontos críticos das funções dadas, classificando-os, quando possível.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar todos os pontos críticos da função
e classificá-los quando possível. Aqui, estamos trabalhando com cálculo multivariável, especificamente com derivadas parciais para encontrar esses pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que são pontos críticos. Em funções de várias variáveis, um ponto crítico é onde todas as derivadas parciais da função são iguais a zero. Ou seja, precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
e igualá-las a zero.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
E agora, a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Agora, igualamos essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Passo 5
Encontramos que o único ponto crítico ocorre quando
e
. Portanto, o ponto crítico é
.
Passo 6
Para classificar esse ponto crítico, usamos o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
Então, calculamos o discriminante
:
Passo 7
Como
e
, isso significa que o ponto crítico
é um ponto de máximo local.
Resposta
O ponto crítico é
, que é um ponto de máximo local da função
.