Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar todos os pontos críticos da função e classificá-los quando possível. Aqui, estamos trabalhando com cálculo multivariável, especificamente com derivadas parciais para encontrar esses pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que são pontos críticos. Em funções de várias variáveis, um ponto crítico é onde todas as derivadas parciais da função são iguais a zero. Ou seja, precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e e igualá-las a zero.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
E agora, a derivada parcial de em relação a :
Passo 4
Agora, igualamos essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Passo 5
Encontramos que o único ponto crítico ocorre quando e . Portanto, o ponto crítico é .
Passo 6
Para classificar esse ponto crítico, usamos o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
Então, calculamos o discriminante :
Passo 7
Como e , isso significa que o ponto crítico é um ponto de máximo local.
Resposta
O ponto crítico é , que é um ponto de máximo local da função .