Determine todos os pontos críticos das funções dadas, classificando-os, quando possível.
(a) z = 10x - x^2 - y^2

Passo 1

Vamos analisar o problema: precisamos encontrar todos os pontos críticos da função e classificá-los quando possível. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de derivadas parciais e o teste da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e :

Passo 3

Pontos críticos acontecem quando essas derivadas parciais são iguais a zero. Então, vamos igualar cada derivada a zero e resolver para e :

Passo 4

Encontramos que o ponto crítico está em . Agora, precisamos classificar esse ponto para saber se é um máximo, mínimo ou ponto de sela.

Passo 5

Para classificar o ponto crítico, calculamos as segundas derivadas:

Passo 6

Calculamos o discriminante :

Passo 7

Como e , o ponto crítico é um ponto de máximo relativo.

Resposta

O ponto crítico está em e é um ponto de máximo relativo.

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