Determine todos os pontos críticos das funções dadas, classificando-os, quando possível.
(a)
(a)
Passo 1
Vamos analisar o problema: precisamos encontrar todos os pontos críticos da função
e classificá-los quando possível. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de derivadas parciais e o teste da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Passo 3
Pontos críticos acontecem quando essas derivadas parciais são iguais a zero. Então, vamos igualar cada derivada a zero e resolver para
e
:
Passo 4
Encontramos que o ponto crítico está em
. Agora, precisamos classificar esse ponto para saber se é um máximo, mínimo ou ponto de sela.
Passo 5
Para classificar o ponto crítico, calculamos as segundas derivadas:
Passo 6
Calculamos o discriminante
:
Passo 7
Como
e
, o ponto crítico é um ponto de máximo relativo.
Resposta
O ponto crítico está em
e é um ponto de máximo relativo.