Determine todos os pontos sobre a parte do plano no primeiro octante nos quais tem um valor máximo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar todos os pontos na parte do plano que estão no primeiro octante (ou seja, onde , e são positivos) onde a função atinge seu valor máximo. Para isso, vamos usar conceitos de otimização com restrições, especificamente o método dos multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o primeiro octante. No espaço tridimensional, o primeiro octante é a região onde todas as coordenadas , e são maiores que zero. Então, nosso interesse está só nessa parte do plano .

Passo 3

Agora, vamos lembrar que para maximizar uma função com uma restrição, usamos o método dos multiplicadores de Lagrange. A ideia é transformar nosso problema em achar os pontos onde o gradiente da função é paralelo ao gradiente da restrição .

Passo 4

Vamos montar a função de Lagrange:
Aqui, é o multiplicador de Lagrange que vai nos ajudar a incorporar a restrição no processo de otimização.

Passo 5

Em seguida, precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a , , e e igualá-las a zero:
Essas equações vão nos dar um sistema para resolver.

Passo 6

Vamos igualar as primeiras três equações para eliminar :
Podemos simplificar essa igualdade cancelando termos comuns e resolvendo para uma das variáveis em termos das outras.

Passo 7

Dividindo por (sabendo que e são positivos), temos:
De forma similar, dividindo por , obtemos:
Agora sabemos que e , o que implica .

Passo 8

Com essas relações, substituímos na equação da restrição :
Então, .

Passo 9

Usando , encontramos e :

Resposta

O ponto no primeiro octante sobre o plano onde a função atinge seu valor máximo é .

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