Determine todos os pontos sobre a parte do plano
no primeiro octante nos quais
tem um valor máximo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar todos os pontos na parte do plano
que estão no primeiro octante (ou seja, onde
,
e
são positivos) onde a função
atinge seu valor máximo. Para isso, vamos usar conceitos de otimização com restrições, especificamente o método dos multiplicadores de Lagrange.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o primeiro octante. No espaço tridimensional, o primeiro octante é a região onde todas as coordenadas
,
e
são maiores que zero. Então, nosso interesse está só nessa parte do plano
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar que para maximizar uma função com uma restrição, usamos o método dos multiplicadores de Lagrange. A ideia é transformar nosso problema em achar os pontos onde o gradiente da função
é paralelo ao gradiente da restrição
.
Passo 4
Vamos montar a função de Lagrange:
Aqui,
é o multiplicador de Lagrange que vai nos ajudar a incorporar a restrição no processo de otimização.
Passo 5
Em seguida, precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
,
,
e
e igualá-las a zero:
Essas equações vão nos dar um sistema para resolver.
Passo 6
Vamos igualar as primeiras três equações para eliminar
:
Podemos simplificar essa igualdade cancelando termos comuns e resolvendo para uma das variáveis em termos das outras.
Passo 7
Dividindo
por
(sabendo que
e
são positivos), temos:
De forma similar, dividindo
por
, obtemos:
Agora sabemos que
e
, o que implica
.
Passo 8
Com essas relações, substituímos na equação da restrição
:
Então,
.
Passo 9
Usando
, encontramos
e
:
Resposta
O ponto no primeiro octante sobre o plano
onde a função
atinge seu valor máximo é
.
Exercícios relacionados
Determine um vetor unitário na direção do qual
cresce mais rapidamente em
obtenha a taxa de variação de
em
nessa direção.
©
©
Determine se a função é contínua em toda a reta real. Explique seu raciocínio.
2.
2.
Determine se a função é contínua em toda a reta real. Explique seu raciocínio.
8.
8.