Determine um vetor unitário na direção do qual cresce mais rapidamente em obtenha a taxa de variação de em nessa direção.
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Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar um vetor unitário na direção em que a função cresce mais rápido no ponto e também calcular a taxa de variação dessa função nessa direção.
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com cálculo multivariável, especificamente com gradiente e derivada direcional.
O que vamos precisar: Vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a cada variável, construir o vetor gradiente, normalizar esse vetor para obter o vetor unitário na direção do maior crescimento e, finalmente, calcular a taxa de variação nessa direção.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que o vetor gradiente de uma função é dado por:
O gradiente aponta na direção em que a função cresce mais rapidamente, e a sua magnitude nos dá a taxa de crescimento nessa direção.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e .
A função dada é:
Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto .
Calculando cada derivada parcial em :

Passo 5

Com essas derivadas, o vetor gradiente em é:
Para encontrar o vetor unitário na direção do gradiente, precisamos normalizar esse vetor. Primeiro, calculamos a magnitude do gradiente:
Então, o vetor unitário na direção do gradiente é:

Resposta

Um vetor unitário na direção em que cresce mais rapidamente em é e a taxa de variação de nessa direção é .

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