Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar um vetor unitário na direção em que a função cresce mais rápido no ponto e também calcular a taxa de variação dessa função nessa direção.
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com cálculo multivariável, especificamente com gradiente e derivada direcional.
O que vamos precisar: Vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a cada variável, construir o vetor gradiente, normalizar esse vetor para obter o vetor unitário na direção do maior crescimento e, finalmente, calcular a taxa de variação nessa direção.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que o vetor gradiente de uma função é dado por:
O gradiente aponta na direção em que a função cresce mais rapidamente, e a sua magnitude nos dá a taxa de crescimento nessa direção.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e .
A função dada é:
Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto .
Calculando cada derivada parcial em :
Passo 5
Com essas derivadas, o vetor gradiente em é:
Para encontrar o vetor unitário na direção do gradiente, precisamos normalizar esse vetor. Primeiro, calculamos a magnitude do gradiente:
Então, o vetor unitário na direção do gradiente é:
Resposta
Um vetor unitário na direção em que cresce mais rapidamente em é e a taxa de variação de nessa direção é .