Utiliza integral tripla para determinar o volume da elipsoide de equação
e .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a gente precisa aqui. O problema pede para calcular o volume de uma elipsoide usando integrais triplas. A equação da elipsoide dada é:
Aqui, , e são números reais positivos que determinam o tamanho da elipsoide nos eixos , e , respectivamente. Os termos , e representam o centro da elipsoide no espaço. Para calcular o volume, vamos precisar configurar uma integral tripla que cobre toda a região dentro dessa elipsoide.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação da elipsoide mudando de coordenadas para centralizar a elipsoide na origem. Para isso, fazemos as substituições:
Com essas substituições, a equação da elipsoide fica:
Essa nova equação representa uma esfera de raio 1, que é mais fácil de trabalhar quando vamos integrar.

Passo 3

Agora, precisamos calcular o volume dessa esfera unitaria usando integrais triplas em coordenadas esféricas. Mas antes, vamos lembrar que, ao mudar de coordenadas, precisamos levar em conta o jacobiano da transformação para ajustar o elemento de volume.
O jacobiano para a transformação de para é dado por:
Isso significa que o elemento de volume na nova coordenada é .

Passo 4

Agora, sabemos que o volume da elipsoide pode ser calculado pela integral tripla sobre a esfera unitária:
Como , e são constantes, podemos tirá-los da integral:
A integral tripla representa o volume da esfera unitária, que sabemos que é .

Passo 5

Substituindo o valor da integral, temos:
Então, o volume da elipsoide é:

Resposta

O volume da elipsoide é dado por:

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Use integral tripla para determinar o volume da região limitada por e por .
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