Determine todos os subgrupos de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos todos os subgrupos de
. Estamos trabalhando com grupo cíclico, que é uma parte da álgebra abstrata, mais especificamente da teoria de grupos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são subgrupos e como identificar quais conjuntos dentro de
satisfazem as condições para serem subgrupos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é
. Esse é o grupo dos inteiros módulo 10, ou seja, os números de 0 a 9 com a operação de adição modular. Um subgrupo de
é um conjunto de alguns desses números que também forma um grupo sob a mesma operação.
Passo 3
Agora, para encontrar os subgrupos, precisamos saber quais divisores de 10 existem. Isso porque, em um grupo cíclico como
, os subgrupos são exatamente os subconjuntos formados pelos múltiplos de cada divisor de 10. Os divisores de 10 são: 1, 2, 5 e 10.
Passo 4
Vamos identificar os subgrupos correspondentes a cada divisor:
-
Divisor 1: Os múltiplos de 1 em
são todos os elementos do grupo, ou seja, . Esse é o próprio grupo . -
Divisor 2: Os múltiplos de 2 em
são . Esse é um subgrupo de ordem 5. -
Divisor 5: Os múltiplos de 5 em
são . Esse é um subgrupo de ordem 2. -
Divisor 10: O único múltiplo de 10 em
é , que é o subgrupo trivial.
Passo 5
Portanto, listando todos os subgrupos encontrados:
-
— o subgrupo trivial. -
— subgrupo de ordem 2. -
— subgrupo de ordem 5. -
— o grupo completo.
Resposta
Os subgrupos de
são:
-
, -
, -
e -
.