Determine todos os subgrupos de Z10.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos todos os subgrupos de Z10. Estamos trabalhando com grupo cíclico, que é uma parte da álgebra abstrata, mais especificamente da teoria de grupos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são subgrupos e como identificar quais conjuntos dentro de Z10 satisfazem as condições para serem subgrupos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é Z10. Esse é o grupo dos inteiros módulo 10, ou seja, os números de 0 a 9 com a operação de adição modular. Um subgrupo de Z10 é um conjunto de alguns desses números que também forma um grupo sob a mesma operação.

Passo 3

Agora, para encontrar os subgrupos, precisamos saber quais divisores de 10 existem. Isso porque, em um grupo cíclico como Z10, os subgrupos são exatamente os subconjuntos formados pelos múltiplos de cada divisor de 10. Os divisores de 10 são: 1, 2, 5 e 10.

Passo 4

Vamos identificar os subgrupos correspondentes a cada divisor:
  • Divisor 1: Os múltiplos de 1 em Z10 são todos os elementos do grupo, ou seja, 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Esse é o próprio grupo Z10.
  • Divisor 2: Os múltiplos de 2 em Z10 são 0,2,4,6,8. Esse é um subgrupo de ordem 5.
  • Divisor 5: Os múltiplos de 5 em Z10 são 0,5. Esse é um subgrupo de ordem 2.
  • Divisor 10: O único múltiplo de 10 em Z10 é 0, que é o subgrupo trivial.

Passo 5

Portanto, listando todos os subgrupos encontrados:
  1. 0 — o subgrupo trivial.
  2. 0,5 — subgrupo de ordem 2.
  3. 0,2,4,6,8 — subgrupo de ordem 5.
  4. Z10 — o grupo completo.

Resposta

Os subgrupos de Z10 são:
  • 0,
  • 0,5,
  • 0,2,4,6,8 e
  • Z10.

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