(NASCIMENTO; FEITOSA, 2013, p. 51) Para e mostrar que H.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o conjunto é um subgrupo de . Aqui, representa todas as matrizes 2x2 com entradas reais. O que precisamos fazer é verificar se satisfaz as condições para ser um subgrupo: estar não vazio, ser fechado sob a operação de adição e ter inversos para cada elemento.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se a & 0 b & 0 não está vazio. Olhando a definição de 0 & 0 0 & 0 , temos matrizes da forma:
onde e são números reais. Se escolhermos e , a matriz fica:
Que é a matriz zero. Então, não está vazio.
Passo 3
Agora, vamos verificar se A = a & 0 b & 0 e B = c & 0 d & 0 é fechado sob a adição. Ou seja, se pegarmos duas matrizes em A + B = a + c & 0 + 0 b + d & 0 + 0 = a + c & 0 b + d & 0 e somarmos, o resultado também deve estar em algo & 0 algo & 0 . Suponha que temos duas matrizes em :
A soma delas é:
Observamos que a soma também tem a forma:
Então, está em . Portanto, é fechado sob adição.
Passo 4
Por último, vamos verificar se cada elemento em A = a & 0 b & 0 tem um inverso em -A = - a & 0 - b & 0 . Ou seja, para cada matriz em , deve existir uma matriz também em . Tomando a matriz:
O inverso aditivo é:
Claramente, também tem a mesma forma que as matrizes em , então pertence a . Assim, todo elemento de tem seu inverso em .
Resposta
Como não está vazio, é fechado sob adição e todo elemento tem seu inverso, concluímos que é um subgrupo de . Portanto, .