Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz que depende dos valores , e , e queremos descobrir para quais valores desses números a matriz é diagonalizável. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente envolvendo conceitos de autovalores e autovetores. Para resolver, vamos precisar identificar os autovalores de e verificar as condições para que a matriz seja diagonalizável.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz lambda1 = a, lambda2 = c, lambda3 = 1 . Como é uma matriz triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), os autovalores são simplesmente os elementos da diagonal principal. Então, os autovalores são:
Passo 3
Para que a matriz seja diagonalizável, ela precisa ter um conjunto completo de autovetores linearmente independentes. Uma condição mais fácil de verificar é que, se todos os autovalores forem distintos, então a matriz certamente é diagonalizável.
Então, se , e forem todos diferentes entre si, a matriz já é diagonalizável.
Passo 4
Agora, vamos considerar os casos onde alguns dos autovalores podem ser iguais. Existem três possibilidades:
Vamos analisar cada caso para ver se a matriz continua diagonalizável.
Passo 5
Caso 1:
Aqui, temos dois autovalores iguais ( e ) e um diferente (). Para a matriz ser diagonalizável, a multiplicidade geométrica (número de autovetores) de deve ser igual à sua multiplicidade algébrica. Isso significa que a matriz deve ter pelo menos dois autovetores associados a .
Analisando a matriz quando , vemos que o elemento desempenha um papel importante. Se , isso pode impedir que a matriz tenha dois autovetores distintos para , tornando-a não diagonalizável. Portanto, para que a matriz seja diagonalizável nesse caso, devemos ter .
Condição: e
Passo 6
Caso 2:
Agora, temos dois autovalores iguais ( e ) e um diferente (). Similar ao caso anterior, para que a matriz seja diagonalizável, devemos ter dois autovetores distintos para o autovalor .
Olha só, na matriz , o elemento está na posição . Se , isso pode novamente impedir a existência de um segundo autovetor para . Assim, para a diagonalização acontecer, precisamos que .
Condição: e
Passo 7
Caso 3:
Aqui, novamente, temos dois autovalores iguais ( e ) e um diferente (). A lógica é a mesma dos casos anteriores: para que a matriz seja diagonalizável, deve existir pelo menos dois autovetores distintos para o autovalor .
Na matriz , o elemento interfere na obtenção de múltiplos autovetores quando . Portanto, para garantir a diagonalização, precisamos que .
Condição: e
Passo 8
Caso 4:
Neste último caso, todos os três autovalores são iguais a . Para que a matriz seja diagonalizável, ela precisa ser a matriz identidade multiplicada por , ou seja, todos os elementos fora da diagonal principal devem ser zero.
Na matriz , já temos zeros abaixo da diagonal principal, mas os elementos e acima dela podem impedir a diagonalização. Para que a matriz seja diagonalizável neste cenário, precisamos que e o elemento também seja eliminado, o que não é possível já que é fixo como na matriz original. Portanto, nesse caso, a matriz não é diagonalizável.
Resposta
A matriz (b = 0) e a neq c, a neq 1, c neq 1 é diagonalizável se e somente se:
Todos os autovalores forem distintos: , , e .
Ou, se houver autovalores repetidos, então:
Se , .
Se , .
Se , .
Em resumo, os valores que tornam a matriz diagonalizável são aqueles onde:
Ou seja, é diagonalizável se e todos os autovalores , e forem distintos entre si.