Determine todos os valores para os quais a matriz
é diagonalizável.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz que depende dos valores , e , e queremos descobrir para quais valores desses números a matriz é **diagonalizável**. Isso está dentro da matéria de **Álgebra Linear**, especificamente envolvendo conceitos de **autovalores** e **autovetores**. Para resolver, vamos precisar identificar os autovalores de e verificar as condições para que a matriz seja diagonalizável.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os **autovalores** da matriz . Como é uma matriz triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), os autovalores são simplesmente os elementos da diagonal principal. Então, os autovalores são:
Passo 3
Para que a matriz seja **diagonalizável**, ela precisa ter um conjunto completo de **autovetores** linearmente independentes. Uma condição mais fácil de verificar é que, se todos os autovalores forem distintos, então a matriz certamente é diagonalizável.
Então, se , e forem todos diferentes entre si, a matriz já é diagonalizável.
Passo 4
Agora, vamos considerar os casos onde alguns dos autovalores podem ser iguais. Existem três possibilidades:
1. ****
2. ****
3. ****
4. ****
Vamos analisar cada caso para ver se a matriz continua diagonalizável.
Passo 5
**Caso 1: **
Aqui, temos dois autovalores iguais ( e ) e um diferente (). Para a matriz ser diagonalizável, a multiplicidade geométrica (número de autovetores) de deve ser igual à sua multiplicidade algébrica. Isso significa que a matriz deve ter pelo menos dois autovetores associados a .
Analisando a matriz quando , vemos que o elemento desempenha um papel importante. Se , isso pode impedir que a matriz tenha dois autovetores distintos para , tornando-a não diagonalizável. Portanto, para que a matriz seja diagonalizável nesse caso, devemos ter .
**Condição:** e
Passo 6
**Caso 2: **
Agora, temos dois autovalores iguais ( e ) e um diferente (). Similar ao caso anterior, para que a matriz seja diagonalizável, devemos ter dois autovetores distintos para o autovalor .
Olha só, na matriz , o elemento está na posição . Se , isso pode novamente impedir a existência de um segundo autovetor para . Assim, para a diagonalização acontecer, precisamos que .
**Condição:** e
Passo 7
**Caso 3: **
Aqui, novamente, temos dois autovalores iguais ( e ) e um diferente (). A lógica é a mesma dos casos anteriores: para que a matriz seja diagonalizável, deve existir pelo menos dois autovetores distintos para o autovalor .
Na matriz , o elemento interfere na obtenção de múltiplos autovetores quando . Portanto, para garantir a diagonalização, precisamos que .
**Condição:** e
Passo 8
**Caso 4: **
Neste último caso, todos os três autovalores são iguais a . Para que a matriz seja diagonalizável, ela precisa ser a matriz identidade multiplicada por , ou seja, todos os elementos fora da diagonal principal devem ser zero.
Na matriz , já temos zeros abaixo da diagonal principal, mas os elementos e acima dela podem impedir a diagonalização. Para que a matriz seja diagonalizável neste cenário, precisamos que e o elemento também seja eliminado, o que não é possível já que é fixo como na matriz original. Portanto, nesse caso, a matriz **não** é diagonalizável.
Resposta
A matriz é diagonalizável se e somente se:
- **Todos os autovalores forem distintos**: , , e .
**Ou, se houver autovalores repetidos,** então:
- **Se , **.
- **Se , **.
- **Se , **.
Em resumo, os valores que tornam a matriz diagonalizável são aqueles onde:
Ou seja, é diagonalizável se e todos os autovalores , e forem distintos entre si.