Determine todos os valores para os quais a matriz é diagonalizável.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz que depende dos valores , e , e queremos descobrir para quais valores desses números a matriz é **diagonalizável**. Isso está dentro da matéria de **Álgebra Linear**, especificamente envolvendo conceitos de **autovalores** e **autovetores**. Para resolver, vamos precisar identificar os autovalores de e verificar as condições para que a matriz seja diagonalizável.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os **autovalores** da matriz . Como é uma matriz triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), os autovalores são simplesmente os elementos da diagonal principal. Então, os autovalores são:

Passo 3

Para que a matriz seja **diagonalizável**, ela precisa ter um conjunto completo de **autovetores** linearmente independentes. Uma condição mais fácil de verificar é que, se todos os autovalores forem distintos, então a matriz certamente é diagonalizável. Então, se , e forem todos diferentes entre si, a matriz já é diagonalizável.

Passo 4

Agora, vamos considerar os casos onde alguns dos autovalores podem ser iguais. Existem três possibilidades: 1. **** 2. **** 3. **** 4. **** Vamos analisar cada caso para ver se a matriz continua diagonalizável.

Passo 5

**Caso 1: ** Aqui, temos dois autovalores iguais ( e ) e um diferente (). Para a matriz ser diagonalizável, a multiplicidade geométrica (número de autovetores) de deve ser igual à sua multiplicidade algébrica. Isso significa que a matriz deve ter pelo menos dois autovetores associados a . Analisando a matriz quando , vemos que o elemento desempenha um papel importante. Se , isso pode impedir que a matriz tenha dois autovetores distintos para , tornando-a não diagonalizável. Portanto, para que a matriz seja diagonalizável nesse caso, devemos ter . **Condição:** e

Passo 6

**Caso 2: ** Agora, temos dois autovalores iguais ( e ) e um diferente (). Similar ao caso anterior, para que a matriz seja diagonalizável, devemos ter dois autovetores distintos para o autovalor . Olha só, na matriz , o elemento está na posição . Se , isso pode novamente impedir a existência de um segundo autovetor para . Assim, para a diagonalização acontecer, precisamos que . **Condição:** e

Passo 7

**Caso 3: ** Aqui, novamente, temos dois autovalores iguais ( e ) e um diferente (). A lógica é a mesma dos casos anteriores: para que a matriz seja diagonalizável, deve existir pelo menos dois autovetores distintos para o autovalor . Na matriz , o elemento interfere na obtenção de múltiplos autovetores quando . Portanto, para garantir a diagonalização, precisamos que . **Condição:** e

Passo 8

**Caso 4: ** Neste último caso, todos os três autovalores são iguais a . Para que a matriz seja diagonalizável, ela precisa ser a matriz identidade multiplicada por , ou seja, todos os elementos fora da diagonal principal devem ser zero. Na matriz , já temos zeros abaixo da diagonal principal, mas os elementos e acima dela podem impedir a diagonalização. Para que a matriz seja diagonalizável neste cenário, precisamos que e o elemento também seja eliminado, o que não é possível já que é fixo como na matriz original. Portanto, nesse caso, a matriz **não** é diagonalizável.

Resposta

A matriz é diagonalizável se e somente se: - **Todos os autovalores forem distintos**: , , e . **Ou, se houver autovalores repetidos,** então: - **Se , **. - **Se , **. - **Se , **. Em resumo, os valores que tornam a matriz diagonalizável são aqueles onde: Ou seja, é diagonalizável se e todos os autovalores , e forem distintos entre si.

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