Sejam um -espaço vetorial e um operador linear. Prove que se o polinômio característico tem todas as suas raízes em e todas elas são simples, isto é, todas elas têm multiplicidade algébrica 1, então é diagonalizável.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um espaço vetorial sobre um corpo e um operador linear . Queremos provar que se o polinômio característico de tem todas as suas raízes em e todas são simples (ou seja, cada raiz tem multiplicidade algébrica 1), então é diagonalizável. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é polinômio característico, multiplicidade algébrica e como isso se relaciona com a diagonalização de um operador linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio característico de . Ele é dado por , onde é a matriz identidade. As raízes desse polinômio são os autovalores de . A multiplicidade algébrica de um autovalor é o número de vezes que ele aparece como raiz no polinômio característico.
Passo 3
Agora, precisamos lembrar o que significa ser diagonalizável. Um operador linear é diagonalizável se existe uma base de composta por vetores próprios de . Isso é equivalente a dizer que a soma das multiplicidades geométricas dos autovalores de é igual à dimensão de .
Passo 4
A multiplicidade geométrica de um autovalor é a dimensão do espaço próprio associado a ele, ou seja, o número de vetores próprios que correspondem a esse autovalor. Para ser diagonalizável, para cada autovalor, a multiplicidade geométrica deve ser igual à multiplicidade algébrica.
Passo 5
Dado que todas as raízes de estão em e são simples, isso significa que cada autovalor tem multiplicidade algébrica 1. Como a multiplicidade geométrica não pode ser menor que 1 (sempre existe pelo menos um vetor próprio), temos que, para cada autovalor, a multiplicidade geométrica também é 1.
Passo 6
Como para cada autovalor a multiplicidade geométrica é igual à multiplicidade algébrica, a soma das multiplicidades geométricas será igual à soma das multiplicidades algébricas, que é igual à dimensão de . Portanto, existe uma base de composta por vetores próprios de , o que significa que é diagonalizável.
Resposta
Portanto, se o polinômio característico de tem todas as suas raízes em e todas são simples, então é diagonalizável.