Sejam
um
-espaço vetorial e
um operador linear. Prove que se o polinômio característico
tem todas as suas raízes em
e todas elas são simples, isto é, todas elas têm multiplicidade algébrica 1, então
é diagonalizável.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um espaço vetorial
sobre um corpo
e um operador linear
. Queremos provar que se o polinômio característico
de
tem todas as suas raízes em
e todas são simples (ou seja, cada raiz tem multiplicidade algébrica 1), então
é diagonalizável. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é polinômio característico, multiplicidade algébrica e como isso se relaciona com a diagonalização de um operador linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio característico de
. Ele é dado por
, onde
é a matriz identidade. As raízes desse polinômio são os autovalores de
. A multiplicidade algébrica de um autovalor é o número de vezes que ele aparece como raiz no polinômio característico.
Passo 3
Agora, precisamos lembrar o que significa
ser diagonalizável. Um operador linear
é diagonalizável se existe uma base de
composta por vetores próprios de
. Isso é equivalente a dizer que a soma das multiplicidades geométricas dos autovalores de
é igual à dimensão de
.
Passo 4
A multiplicidade geométrica de um autovalor é a dimensão do espaço próprio associado a ele, ou seja, o número de vetores próprios que correspondem a esse autovalor. Para
ser diagonalizável, para cada autovalor, a multiplicidade geométrica deve ser igual à multiplicidade algébrica.
Passo 5
Dado que todas as raízes de
estão em
e são simples, isso significa que cada autovalor tem multiplicidade algébrica 1. Como a multiplicidade geométrica não pode ser menor que 1 (sempre existe pelo menos um vetor próprio), temos que, para cada autovalor, a multiplicidade geométrica também é 1.
Passo 6
Como para cada autovalor a multiplicidade geométrica é igual à multiplicidade algébrica, a soma das multiplicidades geométricas será igual à soma das multiplicidades algébricas, que é igual à dimensão de
. Portanto, existe uma base de
composta por vetores próprios de
, o que significa que
é diagonalizável.
Resposta
Portanto, se o polinômio característico de
tem todas as suas raízes em
e todas são simples, então
é diagonalizável.