Seja T: V V um operador linear. Prove que se v é um autovetor de T associado a um autovalor lambda, então v também é um autovetor de
T^k=T circ T circ cdots circ T (k composições ) çõ
associado ao autovalor lambda^k. Conclua que se T é nilpotente, isto é, T^k=0 para algum inteiro positivo k, então 0 é o único autovalor de T. (Dica: use o Exercício 5.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre operadores lineares e autovetores. Precisamos mostrar que se temos um autovetor de um operador linear com autovalor , então também é um autovetor de com autovalor . Depois, vamos concluir que se é nilpotente (ou seja, para algum ), então 0 é o único autovalor de . Para resolver, vamos usar propriedades de operadores lineares e autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um autovetor e autovalor. Se T(v) = lambda v é um operador linear, um vetor é chamado de autovetor de se existe um escalar tal que:
Aqui, é o autovalor associado ao autovetor .

Passo 3

Agora, queremos mostrar que T^k(v) = T(T^k-1(v)) também é um autovetor de T^k-1(v) = lambda^k-1 v com autovalor T^k(v) = T(lambda^k-1 v) = lambda^k-1 T(v) = lambda^k-1 (lambda v) = lambda^k v . Vamos calcular T^k(v) = lambda^k v :
Mas sabemos que , então:
Substituindo de volta:
Isso mostra que:
Portanto, é um autovetor de com autovalor .

Passo 4

Agora, vamos concluir que se T^k(v) = 0 é nilpotente, ou seja, T^k(v) = lambda^k v para algum inteiro positivo lambda^k v = 0 , então 0 é o único autovalor de .
Se é nilpotente, então para qualquer autovetor de :
Mas, pelo que mostramos anteriormente:
Então:
Como (pois é um autovetor), temos que . A única maneira disso ser verdade é se .

Resposta

Portanto, se é nilpotente, o único autovalor de é 0.

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