Seja um operador linear. Prove que se é um autovetor de associado a um autovalor , então também é um autovetor de
associado ao autovalor . Conclua que se é nilpotente, isto é, para algum inteiro positivo , então 0 é o único autovalor de T. (Dica: use o Exercício 5.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre operadores lineares e autovetores. Precisamos mostrar que se temos um autovetor de um operador linear com autovalor , então também é um autovetor de com autovalor . Depois, vamos concluir que se é nilpotente (ou seja, para algum ), então 0 é o único autovalor de . Para resolver, vamos usar propriedades de operadores lineares e autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um autovetor e autovalor. Se é um operador linear, um vetor é chamado de autovetor de se existe um escalar tal que:
Aqui, é o autovalor associado ao autovetor .
Passo 3
Agora, queremos mostrar que também é um autovetor de com autovalor . Vamos calcular :
Mas sabemos que , então:
Substituindo de volta:
Isso mostra que:
Portanto, é um autovetor de com autovalor .
Passo 4
Agora, vamos concluir que se é nilpotente, ou seja, para algum inteiro positivo , então 0 é o único autovalor de .
Se é nilpotente, então para qualquer autovetor de :
Mas, pelo que mostramos anteriormente:
Então:
Como (pois é um autovetor), temos que . A única maneira disso ser verdade é se .
Resposta
Portanto, se é nilpotente, o único autovalor de é 0.