Seja um operador linear. Prove que se é um autovetor de associado a um autovalor , então também é um autovetor de
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associado ao autovalor . Conclua que se é nilpotente, isto é, para algum inteiro positivo , então 0 é o único autovalor de T. (Dica: use o Exercício 5.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre operadores lineares e autovetores. Precisamos mostrar que se temos um autovetor de um operador linear com autovalor , então também é um autovetor de com autovalor . Depois, vamos concluir que se é nilpotente (ou seja, para algum ), então 0 é o único autovalor de . Para resolver, vamos usar propriedades de operadores lineares e autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um autovetor e autovalor. Se é um operador linear, um vetor é chamado de autovetor de se existe um escalar tal que:
Aqui, é o autovalor associado ao autovetor .

Passo 3

Agora, queremos mostrar que também é um autovetor de com autovalor . Vamos calcular :
Mas sabemos que , então:
Substituindo de volta:
Isso mostra que:
Portanto, é um autovetor de com autovalor .

Passo 4

Agora, vamos concluir que se é nilpotente, ou seja, para algum inteiro positivo , então 0 é o único autovalor de .
Se é nilpotente, então para qualquer autovetor de :
Mas, pelo que mostramos anteriormente:
Então:
Como (pois é um autovetor), temos que . A única maneira disso ser verdade é se .

Resposta

Portanto, se é nilpotente, o único autovalor de é 0.

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