Seja
um operador linear. Prove que se
é um autovetor de
associado a um autovalor
, então
também é um autovetor de
associado ao autovalor
. Conclua que se
é nilpotente, isto é,
para algum inteiro positivo
, então 0 é o único autovalor de T. (Dica: use o Exercício 5.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre operadores lineares e autovetores. Precisamos mostrar que se temos um autovetor
de um operador linear
com autovalor
, então
também é um autovetor de
com autovalor
. Depois, vamos concluir que se
é nilpotente (ou seja,
para algum
), então 0 é o único autovalor de
. Para resolver, vamos usar propriedades de operadores lineares e autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um autovetor e autovalor. Se
é um operador linear, um vetor
é chamado de autovetor de
se existe um escalar
tal que:
Aqui,
é o autovalor associado ao autovetor
.
Passo 3
Agora, queremos mostrar que
também é um autovetor de
com autovalor
. Vamos calcular
:
Mas sabemos que
, então:
Substituindo de volta:
Isso mostra que:
Portanto,
é um autovetor de
com autovalor
.
Passo 4
Agora, vamos concluir que se
é nilpotente, ou seja,
para algum inteiro positivo
, então 0 é o único autovalor de
.
Se
é nilpotente, então para qualquer autovetor
de
:
Mas, pelo que mostramos anteriormente:
Então:
Como
(pois é um autovetor), temos que
. A única maneira disso ser verdade é se
.
Resposta
Portanto, se
é nilpotente, o único autovalor de
é 0.