Determine todos os valores da constante tais que a função seja contínua em toda parte.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos todos os valores da constante que fazem a função ser contínua em todo lugar. Vamos usar conceitos de continuidade e propriedades das funções para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a função raiz quadrada, , só está definida para números maiores ou iguais a zero. Ou seja, para ser contínua em todos os pontos, a expressão dentro da raiz deve ser sempre não negativa:
Isso significa que para qualquer valor de e , essa desigualdade precisa valer.

Passo 3

Vamos organizar a desigualdade:
Queremos que isso seja verdadeiro para todos os e . Então, precisamos ver quais valores de satisfazem essa condição.

Passo 4

Observe que sempre será pelo menos 1, já que é sempre não negativo. Por outro lado, também é sempre não negativo. Então, a desigualdade dependerá do sinal de :
  • Se : A parte direita, , pode crescer sem limite conforme aumenta, o que pode tornar a desigualdade falsa para valores grandes de .
  • Se : A desigualdade se torna , que é sempre verdadeira.
  • Se : A parte direita, , será negativa, e como é sempre positiva, a desigualdade sempre será verdadeira.

Passo 5

Portanto, para garantir que para todos os e , devemos ter que não seja positiva. Ou seja:

Resposta

Todos os valores de menores ou iguais a zero, ou seja, .

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b) Mostre que o limite:
não existe tomando ao longo da curva .
Fatore as expressões.
.
Fatore as expressões.
.
Fatore as expressões.
.