Determine todos os valores da constante
tais que a função
seja contínua em toda parte.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos todos os valores da constante
que fazem a função
ser contínua em todo lugar. Vamos usar conceitos de continuidade e propriedades das funções para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que a função raiz quadrada,
, só está definida para números maiores ou iguais a zero. Ou seja, para
ser contínua em todos os pontos, a expressão dentro da raiz deve ser sempre não negativa:
Isso significa que para qualquer valor de
e
, essa desigualdade precisa valer.
Passo 3
Vamos organizar a desigualdade:
Queremos que isso seja verdadeiro para todos os
e
. Então, precisamos ver quais valores de
satisfazem essa condição.
Passo 4
Observe que
sempre será pelo menos 1, já que
é sempre não negativo. Por outro lado,
também é sempre não negativo. Então, a desigualdade
dependerá do sinal de
:
-
Se
: A parte direita, , pode crescer sem limite conforme aumenta, o que pode tornar a desigualdade falsa para valores grandes de . -
Se
: A desigualdade se torna , que é sempre verdadeira. -
Se
: A parte direita, , será negativa, e como é sempre positiva, a desigualdade sempre será verdadeira.
Passo 5
Portanto, para garantir que
para todos os
e
, devemos ter que
não seja positiva. Ou seja:
Resposta
Todos os valores de
menores ou iguais a zero, ou seja,
.
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b) Mostre que o limite:
não existe tomando
ao longo da curva
.
Fatore as expressões.
.
Fatore as expressões.
.
Fatore as expressões.
.