b) Mostre que o limite:
lim (x, y, z) (0,0,0) x y zz^2+y^4+z^4
não existe tomando (x, y, z) (0,0,0) ao longo da curva x=t^2, y=t, z=t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente mostrar que o limite
lim (x, y, z) (0,0,0) x y zz^2+y^4+z^4
não existe quando a gente se aproxima do ponto (0,0,0) seguindo a curva definida por x = t^2, y = t e z = t. Para resolver isso, vamos substituir esses valores na expressão e analisar o que acontece quando t se aproxima de 0.

Passo 2

Primeiro, substituímos x, y e z na função pelo que a curva define:
x y zz^2+y^4+z^4 = t^2 cdot t cdot tt^2 + t^4 + t^4
Simplificando o numerador e o denominador:
t^4t^2 + 2t^4

Passo 3

Agora, vamos simplificar essa fração dividindo o numerador e o denominador por t^2:
t^4t^2 + 2t^4 = t^21 + 2t^2

Passo 4

Com a expressão simplificada, vamos analisar o limite quando t tende a 0:
limt to 0 t^21 + 2t^2 = 01 + 0 = 0

Resposta

Portanto, o limite ao longo da curva x = t^2, y = t, z = t é igual a 0. Contudo, como esse limite pode variar dependendo da curva escolhida, isso indica que o limite geral
lim (x, y, z) (0,0,0) x y zz^2+y^4+z^4
não existe.

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