Determine todos os valores de a para que a equação
x^3 + 3 x^2 - 9 x + a = 0
tenha uma única solução real.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar todos os valores de para que a equação
tenha uma única solução real. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra sobre equações polinomiais e derivadas para analisar o comportamento da função.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a equação ter uma única solução real. Uma equação cúbica geralmente tem três soluções, mas dependendo dos coeficientes, pode ter uma única solução real e duas soluções complexas. Queremos encontrar os valores de que fazem com que isso aconteça.

Passo 3

Vamos analisar a função associada a essa equação:
Para determinar o número de soluções reais, precisamos estudar o comportamento dessa função. Isso envolve encontrar os pontos onde a função tem máximos e mínimos locais, o que nos ajudará a entender quantas vezes a função cruza o eixo .

Passo 4

Para encontrar os pontos de máximo e mínimo, calculamos a derivada da função:
Esses pontos são onde a inclinação da função é zero, ou seja, onde a função muda de crescente para decrescente ou vice-versa.

Passo 5

Agora, vamos resolver :
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 3:

Passo 6

Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
onde , , e . Calculando o discriminante:
Como , temos duas soluções reais:
Portanto:

Passo 7

Esses pontos e são os pontos onde a função tem máximo e mínimo locais. Vamos calcular os valores de nesses pontos para entender o comportamento da função.

Passo 8

Calculando :
Calculando :

Passo 9

Para que a equação tenha apenas uma solução real, a função não deve ter pontos onde ela cruze o eixo mais de uma vez. Isso acontece quando a função não tem dois pontos de interseção com o eixo , ou seja, quando os valores de e são ambos positivos ou ambos negativos.

Passo 10

Vamos considerar os dois casos:
  1. Ambos positivos:
    e
    Como implica , este caso é válido para .
  2. Ambos negativos:
    e
    Como implica , este caso é válido para .

Passo 11

Portanto, para que a equação tenha apenas uma solução real, o valor de deve ser maior que 5 ou menor que -27.

Resposta

Os valores de que fazem a equação ter uma única solução real são todos os números reais tais que

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