Determine todos os valores de
para que a equação
tenha uma única solução real.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar todos os valores de
para que a equação
tenha uma única solução real. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra sobre equações polinomiais e derivadas para analisar o comportamento da função.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a equação ter uma única solução real. Uma equação cúbica geralmente tem três soluções, mas dependendo dos coeficientes, pode ter uma única solução real e duas soluções complexas. Queremos encontrar os valores de
que fazem com que isso aconteça.
Passo 3
Vamos analisar a função associada a essa equação:
Para determinar o número de soluções reais, precisamos estudar o comportamento dessa função. Isso envolve encontrar os pontos onde a função tem máximos e mínimos locais, o que nos ajudará a entender quantas vezes a função cruza o eixo
.
Passo 4
Para encontrar os pontos de máximo e mínimo, calculamos a derivada da função:
Esses pontos são onde a inclinação da função é zero, ou seja, onde a função muda de crescente para decrescente ou vice-versa.
Passo 5
Agora, vamos resolver
:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 3:
Passo 6
Resolvendo a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
onde
,
, e
. Calculando o discriminante:
Como
, temos duas soluções reais:
Portanto:
Passo 7
Esses pontos
e
são os pontos onde a função
tem máximo e mínimo locais. Vamos calcular os valores de
nesses pontos para entender o comportamento da função.
Passo 8
Calculando
:
Calculando
:
Passo 9
Para que a equação
tenha apenas uma solução real, a função
não deve ter pontos onde ela cruze o eixo
mais de uma vez. Isso acontece quando a função não tem dois pontos de interseção com o eixo
, ou seja, quando os valores de
e
são ambos positivos ou ambos negativos.
Passo 10
Vamos considerar os dois casos:
-
Ambos positivos:eComo
implica , este caso é válido para . -
Ambos negativos:eComo
implica , este caso é válido para .
Passo 11
Portanto, para que a equação tenha apenas uma solução real, o valor de
deve ser maior que 5 ou menor que -27.
Resposta
Os valores de
que fazem a equação
ter uma única solução real são todos os números reais tais que
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.