Prove as identidades: 2 arcsen(x) = arccos(1 - 2 x^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que provar a identidade matemática que relaciona as funções arco-seno e arco-cosseno:
Isso está dentro da matéria de trigonometria, especificamente usando identidades trigonométricas e funções inversas. Para resolver isso, vamos precisar entender as relações entre as funções arco-seno e arco-cosseno e usar algumas fórmulas de ângulo duplo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que as funções arco-seno e arco-cosseno estão relacionadas. Sabemos que:
Isso significa que se você somar o arco-seno de x com o arco-cosseno de x, o resultado é . Mas, para o nosso caso, vamos precisar de uma relação diferente.

Passo 3

Vamos considerar . Isso significa que:
Agora, queremos relacionar isso com o cosseno. A gente sabe que:
Essa é uma identidade de ângulo duplo que transforma o seno em cosseno.

Passo 4

Substituindo por x na identidade acima, temos:
Mas, como , então . Portanto:

Passo 5

Agora, vamos usar a definição da função arco-cosseno. Se , então . Aplicando isso à nossa equação:

Resposta

Portanto, provamos que:

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