De todos os paralelepípedos retangulares cuja soma das arestas é constante e igual a 4 a (a > 0), qual o que tem volume máximo?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos paralelepípedos retangulares (tipo aquelas caixas com faces retangulares) e queremos descobrir qual deles tem o maior volume quando a soma de todas as arestas é constante e igual a , onde . Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de geometria e otimização.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um paralelepípedo retangular tem 12 arestas: 4 de cada dimensão (comprimento, largura e altura). Vamos chamar essas dimensões de , e .

Passo 3

A soma de todas as arestas é dada por:
Dividindo ambos os lados por 4, temos:
Isso nos dá uma restrição para as dimensões do paralelepípedo.

Passo 4

O volume de um paralelepípedo retangular é calculado por:
Queremos encontrar o máximo valor de dado que .

Passo 5

Para maximizar o volume sob a restrição , podemos usar a Desigualdade AM-GM (Média Aritmética e Média Geométrica). Essa desigualdade diz que para números positivos, a média aritmética é sempre maior ou igual à média geométrica, e a igualdade ocorre quando todos os números são iguais.

Passo 6

Aplicando a Desigualdade AM-GM:
Substituindo :
Elevando ambos os lados ao cubo:
Ou seja:
A igualdade ocorre quando .

Resposta

O paralelepípedo que tem volume máximo, dado que a soma das arestas é , é aquele com todas as arestas iguais a . O volume máximo é .

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