De todos os paralelepípedos retangulares cuja soma das arestas é constante e igual a
, qual o que tem volume máximo?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos paralelepípedos retangulares (tipo aquelas caixas com faces retangulares) e queremos descobrir qual deles tem o maior volume quando a soma de todas as arestas é constante e igual a
, onde
. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de geometria e otimização.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um paralelepípedo retangular tem 12 arestas: 4 de cada dimensão (comprimento, largura e altura). Vamos chamar essas dimensões de
,
e
.
Passo 3
A soma de todas as arestas é dada por:
Dividindo ambos os lados por 4, temos:
Isso nos dá uma restrição para as dimensões do paralelepípedo.
Passo 4
O volume de um paralelepípedo retangular é calculado por:
Queremos encontrar o máximo valor de
dado que
.
Passo 5
Para maximizar o volume
sob a restrição
, podemos usar a Desigualdade AM-GM (Média Aritmética e Média Geométrica). Essa desigualdade diz que para números positivos, a média aritmética é sempre maior ou igual à média geométrica, e a igualdade ocorre quando todos os números são iguais.
Passo 6
Aplicando a Desigualdade AM-GM:
Substituindo
:
Elevando ambos os lados ao cubo:
Ou seja:
A igualdade ocorre quando
.
Resposta
O paralelepípedo que tem volume máximo, dado que a soma das arestas é
, é aquele com todas as arestas iguais a
. O volume máximo é
.
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para que a equação
tenha uma única solução real.
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