Determine todos os valores de
para quais a função vetorial é contínua.
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é uma função vetorial
. O objetivo é descobrir para quais valores de
essa função é contínua. Para isso, precisamos analisar a continuidade de cada componente da função vetorial individualmente.
Passo 2
Vamos começar pela primeira componente:
. Sabemos que a função exponencial
é contínua para todo valor de
. Porém, aqui temos
, então precisamos que
esteja definida. Isso significa que
não pode ser zero, ou seja,
.
Passo 3
Agora, vamos para a segunda componente:
. A função raiz quadrada
é contínua quando o que está dentro da raiz,
, é maior ou igual a zero. Então, precisamos que
.
Passo 4
Para resolver a inequação
, podemos fatorar:
Agora, analisamos os intervalos onde o produto é positivo ou zero. Os pontos críticos são
e
.
- Para
: ambos e são negativos, então o produto é positivo. - Para
: é negativo e é positivo, então o produto é negativo. - Para
: ambos e são positivos, então o produto é positivo.
Portanto,
quando
ou
.
Passo 5
Por último, a terceira componente é
, que simplifica para
. Essa é uma constante, e funções constantes são contínuas para todo valor de
.
Passo 6
Agora, para que a função vetorial
seja contínua, todas as suas componentes devem ser contínuas no mesmo intervalo de
. Vamos juntar as condições que encontramos:
- Da primeira componente:
- Da segunda componente:
ou - Da terceira componente: todo
é válido
A interseção dessas condições é
ou
.
Resposta
A função vetorial
é contínua para todos os valores de
tais que
ou
.
Exercícios relacionados
Verifique se o limite existe. Se existir, calcule-o.
Exercício 2.4.5 Calcule, se existir, o limite indicado.
j) ;
j)
Determine todos os valores de
para quais a função vetorial é contínua.
Determine todos os valores de
para quais a função vetorial é contínua.