Determine todos os valores de t para quais a função vetorial é contínua.
r(t) = (e^(1/t), raiz(t^2 + t), 2/(1 + 3))

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma função vetorial . O objetivo é descobrir para quais valores de essa função é contínua. Para isso, precisamos analisar a continuidade de cada componente da função vetorial individualmente.

Passo 2

Vamos começar pela primeira componente: . Sabemos que a função exponencial é contínua para todo valor de . Porém, aqui temos , então precisamos que esteja definida. Isso significa que não pode ser zero, ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos para a segunda componente: . A função raiz quadrada é contínua quando o que está dentro da raiz, , é maior ou igual a zero. Então, precisamos que .

Passo 4

Para resolver a inequação , podemos fatorar:
Agora, analisamos os intervalos onde o produto é positivo ou zero. Os pontos críticos são e .
  • Para : ambos e são negativos, então o produto é positivo.
  • Para : é negativo e é positivo, então o produto é negativo.
  • Para : ambos e são positivos, então o produto é positivo.
Portanto, quando ou .

Passo 5

Por último, a terceira componente é , que simplifica para . Essa é uma constante, e funções constantes são contínuas para todo valor de .

Passo 6

Agora, para que a função vetorial seja contínua, todas as suas componentes devem ser contínuas no mesmo intervalo de . Vamos juntar as condições que encontramos:
  • Da primeira componente:
  • Da segunda componente: ou
  • Da terceira componente: todo é válido
A interseção dessas condições é ou .

Resposta

A função vetorial é contínua para todos os valores de tais que ou .

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