Exercício 2.4.5 Calcule, se existir, o limite indicado.
j) lim x -infty raizx^2+4x+4;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que calcular o limite quando tende a menos infinito ( ) da expressão . Aqui, vamos usar conhecimentos sobre limites no infinito e manipulação de expressões algébricas para resolver.

Passo 2

Vamos começar simplificando a expressão dentro da raiz quadrada. Observe que raizx^2+4 = raizx^2 (1 + 4x^2) = |x| raiz1 + 4x^2 pode ser simplificado fatorando de dentro da raiz:

Passo 3

Como raizx^2+4 = -x raiz1 + 4x^2 está tendendo a , é negativo. Portanto, . Substituindo isso na expressão:

Passo 4

Agora, substituímos essa simplificação de volta na expressão original do limite:
limx to -infty -x raiz1 + 4x^2x + 4

Passo 5

Podemos fatorar limx to -infty -x raiz1 + 4x^2x (1 + 4x) = limx to -infty -raiz1 + 4x^21 + 4x do numerador e denominador para simplificar ainda mais:

Passo 6

Agora, analisamos o comportamento das frações dentro das raízes e do denominador quando -raiz1 + 01 + 0 = -11 = -1 tende a . Observe que tende a 0 e também tende a 0. Então, a expressão simplifica para:

Resposta

O limite é igual a .

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