Determine todos os valores de t para quais a função vetorial é contínua.
r(t) = (tan(t), sen(t^2), cos(t^3))

Passo 1

Beleza, então a gente tem que descobrir para quais valores de t a função vetorial é contínua. Isso envolve o estudo de continuidade de funções trigonométricas. Vamos precisar saber onde cada componente da função é contínua.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a primeira componente, tan t. A função tangente tem pontos de descontinuidade onde o cosseno é zero, ou seja, em , onde k é um número inteiro. Nessas posições, a tangente não está definida, então a função não será contínua nesses pontos.

Passo 3

Agora, vamos para a segunda componente, . A função seno é contínua para todo valor real, e elevado ao quadrado, ela não altera essa característica. Portanto, é contínua para todo .

Passo 4

Por último, temos a terceira componente, . A função cosseno também é contínua para todo valor real, e elevar o argumento a uma potência não muda isso. Assim, é contínua para qualquer t.

Passo 5

Para que a função vetorial r(t) seja contínua, todas as suas componentes precisam ser contínuas. Já vimos que e são contínuas em todo , mas t não é contínua nos pontos tan t.

Resposta

A função vetorial é contínua para todos os valores de que não são iguais a t, onde é um número inteiro. Ou seja, k, para todo .

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