Determine todos os valores de para os quais , onde
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para encontrar todos os valores de que fazem com que o determinante da matriz seja igual a zero. Isso está relacionado com o estudo de autovalores em Álgebra Linear. Para resolver isso, vamos precisar calcular o determinante da matriz e igualar a zero.
Passo 2
Primeiro, temos que entender o que é I4 = 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 . é a matriz identidade de ordem , ou seja, uma matriz quadrada onde todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais são 0. No nosso caso, , então:
Passo 3
Agora, vamos montar a matriz A - lambda I4 = 1 - lambda & 2 & 3 & 4 0 & -1 - lambda & 3 & 2 0 & 0 & 3 - lambda & 3 0 & 0 & 0 & 2 - lambda . Subtraímos de cada elemento da diagonal principal da matriz :
Passo 4
Em seguida, precisamos calcular o determinante dessa matriz. Felizmente, det(A - lambda I4) = (1 - lambda) times (-1 - lambda) times (3 - lambda) times (2 - lambda) é uma matriz triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero). Nessa situação, o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal. Então:
Passo 5
Para encontrar os valores de (1 - lambda)(-1 - lambda)(3 - lambda)(2 - lambda) = 0 que tornam o determinante igual a zero, basta resolver a equação:
Isso significa que pelo menos um dos fatores deve ser zero.
Passo 6
Vamos resolver cada fator separadamente:
Resposta
Os valores de boxedlambda = -1, 1, 2, 3 que satisfazem são: