De modo geral, a operação de multiplicação de matrizes é não comutativa.
(b) Dada a matriz
. Determine uma matriz
e
tal que
. É possível determinar a quantidade de matrizes
que satisfazem esta propriedade? Caso positivo, quantas são elas?
(b) Dada a matriz
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre multiplicação de matrizes e, especificamente, sobre quando duas matrizes comutam, ou seja, quando
. Temos a matriz
e queremos encontrar uma matriz
diferente da matriz zero
e da identidade
que satisfaça essa condição. Além disso, vamos ver se dá para determinar quantas matrizes
assim existem.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa a multiplicação de matrizes ser comutativa. Geralmente, para duas matrizes
e
,
nem sempre é igual a
. Mas quando
, dizemos que
e
comutam.
Passo 3
Vamos representar a matriz
de forma geral como
. Nosso objetivo é encontrar os valores de
,
,
e
que tornam
.
Passo 4
Vamos calcular
e
separadamente.
Primeiro, calculando
:
Agora, calculando
:
Passo 5
Para que
, as respectivas entradas das duas matrizes resultantes devem ser iguais. Vamos igualar os elementos correspondentes:
- Primeiro elemento (1,1):
- Segundo elemento (1,2):
- Terceiro elemento (2,1):
- Quarto elemento (2,2):
Passo 6
Então, as condições que precisamos satisfazer são:
Não há restrições para
, então
pode ser qualquer número real.
Passo 7
Portanto, a matriz
que comuta com
tem a seguinte forma:
Onde
e
podem ser quaisquer números reais. Queremos
e
, então:
-
implica que pelo menos um dos elementos ou deve ser diferente de zero. -
implica que ou .
Passo 8
Agora, para saber quantas matrizes
satisfazem essa condição, percebemos que
e
podem ser quaisquer números reais, exceto as restrições mencionadas. Como
e
são livres em
, há infinitas matrizes
que comutam com
.
Resposta
Existe uma infinidade de matrizes
e
que satisfazem
. Essas matrizes são da forma
, onde
e
são números reais quaisquer, com
ou
.