De modo geral, a operação de multiplicação de matrizes é não comutativa.
(b) Dada a matriz A=(ll1 & 2 0 & 1). Determine uma matriz B neq O2 e B neq I2 tal que A B=B A. É possível determinar a quantidade de matrizes B que satisfazem esta propriedade? Caso positivo, quantas são elas?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre multiplicação de matrizes e, especificamente, sobre quando duas matrizes comutam, ou seja, quando 1 & 2 0 & 1 . Temos a matriz e queremos encontrar uma matriz diferente da matriz zero e da identidade que satisfaça essa condição. Além disso, vamos ver se dá para determinar quantas matrizes assim existem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa a multiplicação de matrizes ser comutativa. Geralmente, para duas matrizes e , nem sempre é igual a . Mas quando , dizemos que e comutam.

Passo 3

Vamos representar a matriz b11 & b12 b21 & b22 de forma geral como . Nosso objetivo é encontrar os valores de , , e que tornam .

Passo 4

Vamos calcular AB = 1 & 2 0 & 1 b11 & b12 b21 & b22 = 1 cdot b11 + 2 cdot b21 & 1 cdot b12 + 2 cdot b22 0 cdot b11 + 1 cdot b21 & 0 cdot b12 + 1 cdot b22 = b11 + 2b21 & b12 + 2b22 b21 & b22 e BA = b11 & b12 b21 & b22 1 & 2 0 & 1 = b11 cdot 1 + b12 cdot 0 & b11 cdot 2 + b12 cdot 1 b21 cdot 1 + b22 cdot 0 & b21 cdot 2 + b22 cdot 1 = b11 & 2b11 + b12 b21 & 2b21 + b22 separadamente.
Primeiro, calculando :
Agora, calculando :

Passo 5

Para que b11 + 2b21 = b11 implies 2b21 = 0 implies b21 = 0 , as respectivas entradas das duas matrizes resultantes devem ser iguais. Vamos igualar os elementos correspondentes:
  1. Primeiro elemento (1,1):
b12 + 2b22 = 2b11 + b12 implies 2b22 = 2b11 implies b22 = b11
  1. Segundo elemento (1,2):
b21 = b21 implies Já sabemos que b21 = 0
  1. Terceiro elemento (2,1):
b22 = 2b21 + b22 implies 0 = 2b21 implies Confirma que b21 = 0 á
  1. Quarto elemento (2,2):

Passo 6

Então, as condições que precisamos satisfazer são:
Não há restrições para , então pode ser qualquer número real.

Passo 7

Portanto, a matriz B = a & c 0 & a que comuta com tem a seguinte forma:
Onde e podem ser quaisquer números reais. Queremos e , então:
  • implica que pelo menos um dos elementos ou deve ser diferente de zero.
  • implica que ou .

Passo 8

Agora, para saber quantas matrizes satisfazem essa condição, percebemos que e podem ser quaisquer números reais, exceto as restrições mencionadas. Como e são livres em , há infinitas matrizes que comutam com .

Resposta

Existe uma infinidade de matrizes a & c 0 & a e que satisfazem . Essas matrizes são da forma , onde e são números reais quaisquer, com ou .

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