Encontre a equação da reta que passa pelos pontos (1,1,1) e (2,4,6) e determine o ponto de interseção com o plano x+y+z=6 ^* *

Passo 1

Nesta questão, precisamos encontrar a equação da reta que passa pelos pontos (1,1,1) e (2,4,6). Vamos usar conceitos de Geometria Analítica, especificamente a forma paramétrica da equação da reta. Depois, vamos determinar o ponto onde essa reta intercepta o plano dado pela equação x + y + z = 6.

Passo 2

Primeiro, encontramos o vetor diretor da reta. Para isso, subtraímos as coordenadas dos dois pontos:
d = (2-1, 4-1, 6-1) = (1, 3, 5)
O vetor diretor d indica a direção da reta.

Passo 3

Agora, escrevemos a equação paramétrica da reta. Se considerarmos (x,y,z) um ponto qualquer da reta e t o parâmetro, temos:
x = 1 + t y = 1 + 3t z = 1 + 5t

Passo 4

Para encontrar o ponto de interseção com o plano x + y + z = 6, substituímos as expressões paramétricas na equação do plano:
(1 + t) + (1 + 3t) + (1 + 5t) = 6 1 + t + 1 + 3t + 1 + 5t = 6 3 + 9t = 6 9t = 3 t = 13

Passo 5

Substituímos t = 13 nas equações paramétricas para encontrar as coordenadas do ponto de interseção:
x = 1 + 13 = 43 y = 1 + 3(13) = 2 z = 1 + 5(13) = 83

Resposta

O ponto de interseção é ( 43, 2, 83 ).

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