Encontre a equação da hipérbole que é obtida ao rotacionar a hipérbole x^225-y^216=1 por um ângulo de 45^circ ^* *

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da hipérbole que resulta da rotação da hipérbole dada por x^225 - y^216 = 1 em um ângulo de 45^circ. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente rotação de coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como funciona a rotação das coordenadas. Quando giramos um gráfico em torno da origem, as novas coordenadas (x', y') estão relacionadas às antigas (x, y) através das fórmulas de rotação:
x = x' cos theta - y' sin theta y = x' sin theta + y' cos theta
Aqui, theta é o ângulo de rotação, que no nosso caso é 45^circ. Vamos usar essas fórmulas para substituir x e y na equação original da hipérbole.

Passo 3

Vamos substituir x e y na equação x^225 - y^216 = 1 usando as fórmulas de rotação com theta = 45^circ. Sabemos que:
cos 45^circ = raiz22 e sin 45^circ = raiz22
Substituindo na equação:
(x' raiz22 - y' raiz22)^225 - (x' raiz22 + y' raiz22)^216 = 1

Passo 4

Agora, vamos expandir os termos quadráticos:
(x'^2 24 - 2x'y' 24 + y'^2 24)25 - (x'^2 24 + 2x'y' 24 + y'^2 24)16 = 1
Simplificando os coeficientes:
( 12x'^2 - 12x'y' + 12y'^2 )25 - ( 12x'^2 + 12x'y' + 12y'^2 )16 = 1
Multiplicando os termos:
x'^2 - x'y' + y'^250 - x'^2 + x'y' + y'^232 = 1
Para eliminar os denominadores, vamos multiplicar toda a equação por 160, que é o mínimo múltiplo comum de 50 e 32:
16050(x'^2 - x'y' + y'^2) - 16032(x'^2 + x'y' + y'^2) = 160
Simplificando:
3.2(x'^2 - x'y' + y'^2) - 5(x'^2 + x'y' + y'^2) = 160
Distribuindo os coeficientes:
3.2x'^2 - 3.2x'y' + 3.2y'^2 - 5x'^2 - 5x'y' - 5y'^2 = 160
Agrupando os termos semelhantes:
(3.2x'^2 - 5x'^2) + (-3.2x'y' - 5x'y') + (3.2y'^2 - 5y'^2) = 160
Calculando:
-1.8x'^2 - 8.2x'y' -1.8y'^2 = 160
Dividindo todos os termos por -1.8 para simplificar:
x'^2 + 8.21.8x'y' + y'^2 = -1601.8
Simplificando as frações:
x'^2 + 4.56x'y' + y'^2 = -88.89

Resposta

A equação da hipérbole após a rotação de 45^circ é:
x'^2 + 4.56,x'y' + y'^2 = -88.89

Exercícios relacionados