Encontre a equação da hipérbole que é obtida ao rotacionar a hipérbole
por um ângulo de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da hipérbole que resulta da rotação da hipérbole dada por
em um ângulo de
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente rotação de coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como funciona a rotação das coordenadas. Quando giramos um gráfico em torno da origem, as novas coordenadas
estão relacionadas às antigas
através das fórmulas de rotação:
Aqui,
é o ângulo de rotação, que no nosso caso é
. Vamos usar essas fórmulas para substituir
e
na equação original da hipérbole.
Passo 3
Vamos substituir
e
na equação
usando as fórmulas de rotação com
. Sabemos que:
Substituindo na equação:
Passo 4
Agora, vamos expandir os termos quadráticos:
Simplificando os coeficientes:
Multiplicando os termos:
Para eliminar os denominadores, vamos multiplicar toda a equação por 160, que é o mínimo múltiplo comum de 50 e 32:
Simplificando:
Distribuindo os coeficientes:
Agrupando os termos semelhantes:
Calculando:
Dividindo todos os termos por -1.8 para simplificar:
Simplificando as frações:
Resposta
A equação da hipérbole após a rotação de
é: