Determine o valor k in R a fim de que a matriz
A=(ccc k^2+1 & 2 & 3 k & 2 & 1 2 & -2 & 1 )
possua inversa (isto é, determinante diferente de zero).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! A gente precisa descobrir para quais valores de a matriz possui uma inversa. Para isso, vamos precisar calcular o determinante da matriz e garantir que ele seja diferente de zero. Se o determinante for zero, a matriz não tem inversa; se for diferente de zero, a matriz é invertível.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a regra de Sarrus para facilitar. A matriz A = k^2+1 & 2 & 3 k & 2 & 1 2 & -2 & 1 é:

Passo 3

Aplicando a regra de Sarrus, copiamos as duas primeiras colunas à direita da matriz:
ccc|cc k^2+1 & 2 & 3 & k^2+1 & 2 k & 2 & 1 & k & 2 2 & -2 & 1 & 2 & -2

Passo 4

Agora, somamos os produtos das diagonais descendentes e subtraímos os produtos das diagonais ascendentes.
Produtos das diagonais descendentes:
(k^2+1) times 2 times 1 + 2 times 1 times 2 + 3 times k times (-2)
Calculando:
= (k^2+1)(2)(1) + (2)(1)(2) + (3)(k)(-2) = 2(k^2+1) + 4 - 6k
Produtos das diagonais ascendentes:
3 times 2 times 2 + 1 times 1 times (k^2+1) + 1 times k times (-2)
Calculando:
= 3 times 2 times 2 + 1 times 1 times (k^2+1) + 1 times k times (-2) = 12 + (k^2+1) - 2k

Passo 5

Agora, subtraímos os produtos das diagonais ascendentes dos descendentes:
Determinante = [2(k^2+1) + 4 - 6k] - [12 + (k^2+1) - 2k]
Vamos simplificar:
= 2k^2 + 2 + 4 - 6k - 12 - k^2 -1 + 2k
= (2k^2 - k^2) + (-6k + 2k) + (2 + 4 - 12 -1)
= k^2 - 4k - 7

Passo 6

Para a matriz k^2 - 4k - 7 neq 0 ter inversa, o determinante deve ser diferente de zero:
k^2 - 4k - 7 = 0
Vamos resolver a equação quadrática:
k = 4 pm raiz(-4)^2 - 4 times 1 times (-7)2 times 1 = 4 pm raiz16 + 282 = 4 pm raiz442 = 4 pm 2raiz112 = 2 pm raiz11
Usamos a fórmula de Bhaskara:

Resposta

A matriz possui inversa para todo valor real de , exceto quando ou . Ou seja, é invertível para todos tais que .

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