Determine todos os valores de
para os quais a função
é solução em todo o intervalo
da equação diferencial
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar todos os valores de
para os quais a função
resolve a equação diferencial dada:
Vamos usar conceitos de equações diferenciais, especificamente para equações do tipo equação de Euler. Precisaremos calcular as derivadas de
e substituir na equação para encontrar
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de
. Usando a regra do poder em derivação, temos:
Explicando, a derivada de
é
vezes
elevado a
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
:
Aqui, aplicamos a regra do poder novamente. A derivada de
é
.
Passo 4
Com as derivadas encontradas, vamos substituir
,
e
na equação diferencial original:
Vamos simplificar cada termo multiplicando os coeficientes pelas potências de
.
Passo 5
Simplificando cada termo:
-
-
-
permanece igual.
Então, a equação fica:
Passo 6
Fatorando
que é comum em todos os termos:
Como
não é zero para
diferente de zero, podemos dividir ambos os lados por
, ficando apenas com:
Passo 7
Vamos resolver a equação quadrática em
:
Simplificando os termos semelhantes.
Passo 8
Agora, resolvemos a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
.
Passo 9
Aplicando os valores na fórmula:
Passo 10
Calculando as duas soluções:
Resposta
Os valores de
que satisfazem a equação são
e
.
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,
, para
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,
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