Determine todos os valores de m para os quais a função y(x) = x^m é solução em todo o intervalo -\infty, +\infty da equação diferencial
x^2 y'' + 2 x y' - 6 y = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar todos os valores de para os quais a função resolve a equação diferencial dada:
Vamos usar conceitos de equações diferenciais, especificamente para equações do tipo equação de Euler. Precisaremos calcular as derivadas de e substituir na equação para encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de . Usando a regra do poder em derivação, temos:
Explicando, a derivada de é vezes elevado a .

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de :
Aqui, aplicamos a regra do poder novamente. A derivada de é .

Passo 4

Com as derivadas encontradas, vamos substituir , e na equação diferencial original:
Vamos simplificar cada termo multiplicando os coeficientes pelas potências de .

Passo 5

Simplificando cada termo:
  1. permanece igual.
Então, a equação fica:

Passo 6

Fatorando que é comum em todos os termos:
Como não é zero para diferente de zero, podemos dividir ambos os lados por , ficando apenas com:

Passo 7

Vamos resolver a equação quadrática em :
Simplificando os termos semelhantes.

Passo 8

Agora, resolvemos a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , e .

Passo 9

Aplicando os valores na fórmula:

Passo 10

Calculando as duas soluções:

Resposta

Os valores de que satisfazem a equação são e .

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