Verifique que a função dada é uma solução do problema de valor inicial (PVI):
Passo 1
Vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos uma função definida por uma integral:
E queremos verificar se ela é uma solução do Problema de Valor Inicial (PVI):
Para isso, precisamos checar duas coisas:
- Se, ao substituir
na função , obtemos . - Se a derivada de
em relação a satisfaz a equação diferencial .
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a condição inicial
. Substituímos
na expressão de
:
Porque a integral de um intervalo com os limites iguais é zero. Portanto, a condição inicial está satisfeita.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Usaremos a regra de Leibniz para derivação de integrais que dependem do parâmetro:
Simplificando:
Observamos que a integral na expressão de
é justamente
. Então:
Passo 4
Comparando a expressão obtida para
com a equação diferencial do PVI:
Vemos que elas são iguais, ou seja, a função
satisfaz a equação diferencial dada.
Resposta
A função
satisfaz o problema de valor inicial