Verifique que a função dada é uma solução do problema de valor inicial (PVI):
y(t)=integral0^t e^2(t-s) s^2 d s,ly^prime=2 y+t^2 y(0)=0

Passo 1

Vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos uma função definida por uma integral:
y(t) = integral0^t e^2(t-s) s^2 , ds
E queremos verificar se ela é uma solução do Problema de Valor Inicial (PVI):
y' = 2y + t^2 y(0) = 0
Para isso, precisamos checar duas coisas:
  1. Se, ao substituir t = 0 na função y(t), obtemos y(0) = 0.
  2. Se a derivada de y(t) em relação a t satisfaz a equação diferencial y' = 2y + t^2.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a condição inicial y(0) = 0. Substituímos t = 0 na expressão de y(t):
y(0) = integral0^0 e^2(0-s) s^2 , ds = 0
Porque a integral de um intervalo com os limites iguais é zero. Portanto, a condição inicial está satisfeita.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de y(t) em relação a t, ou seja, y'(t). Usaremos a regra de Leibniz para derivação de integrais que dependem do parâmetro:
y'(t) = ddt ( integral0^t e^2(t-s) s^2 , ds ) = e^2(t-t) t^2 + integral0^t ddt ( e^2(t-s) ) s^2 , ds
Simplificando:
y'(t) = t^2 + integral0^t 2e^2(t-s) s^2 , ds = t^2 + 2 integral0^t e^2(t-s) s^2 , ds
Observamos que a integral na expressão de y'(t) é justamente y(t). Então:
y'(t) = t^2 + 2y(t)

Passo 4

Comparando a expressão obtida para y'(t) com a equação diferencial do PVI:
y'(t) = 2y(t) + t^2
Vemos que elas são iguais, ou seja, a função y(t) satisfaz a equação diferencial dada.

Resposta

A função y(t) = integral0^t e^2(t-s) s^2 , ds satisfaz o problema de valor inicial
y' = 2y + t^2 y(0) = 0

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