Verifique que a função dada é uma solução do problema de valor inicial (PVI):
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente precisa verificar se a função
resolve o Problema de Valor Inicial (PVI) que tem uma equação diferencial e uma condição inicial. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais de primeira ordem e calcular derivadas. Vamos precisar calcular a derivada da função e substituir na equação para ver se tudo fecha certinho.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada de
. A função dada é
. Sabemos que a derivada de
em relação a
é
. Então, aplicando a regra da derivada:
Passo 3
Agora que temos
e
, vamos substituir esses valores na equação diferencial
para verificar se a igualdade é satisfeita.
Substituindo:
Viu só? A soma dá zero, exatamente como está na equação.
Passo 4
Vamos também conferir a condição inicial do PVI, que é
. Substituindo
na função
:
A condição inicial está satisfeita.
Resposta
Sim, a função
é uma solução do problema de valor inicial dado.
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Verifique que as funções seguintes são soluções das equações diferenciais dadas:
,
Determine todos os valores de
para os quais a função
é solução em todo o intervalo
da equação diferencial
Prove que a seguinte relação define uma solução implícita da equação diferencial dada:
Interprete a seguinte afirmação como uma equacão diferencial. Sobre o gráfico de
, a inclinação da reta tangente em um ponto P é o quadrado da distância de P à origem.