Verifique que as funções seguintes são soluções das equações diferenciais dadas:
, , para

Passo 1

Beleza! A gente tem uma função e a sua derivada , onde . O objetivo é verificar se essas funções são soluções de uma equação diferencial específica. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre derivadas e como elas se relacionam com equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que uma função é solução de uma equação diferencial. Basicamente, isso quer dizer que, ao substituir a função e suas derivadas na equação, ela satisfaz a igualdade. Então, precisamos achar uma equação diferencial que envolva e , e verificar se a função dada resolve essa equação.

Passo 3

Vamos começar calculando a segunda derivada de para montar a equação diferencial. Já temos a primeira derivada:
Agora, vamos derivar em relação a :

Passo 4

Aplicando a regra do quociente na derivada acima:
Simplificando os termos:

Passo 5

Agora, sabemos que a equação diferencial relacionada a essa função pode ser escrita envolvendo e suas derivadas. Observando a segunda derivada que obtivemos, podemos reescrever a equação diferencial como:

Passo 6

Vamos verificar se e suas derivadas satisfazem essa equação. Substituindo na equação:
O que simplifica para:

Resposta

Sim, as funções e são soluções da equação diferencial dada.

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Verifique que a função dada é uma solução do problema de valor inicial (PVI):
Verifique que as funções seguintes são soluções das equações diferenciais dadas:
,
Determine todos os valores de para os quais a função é solução em todo o intervalo da equação diferencial
Verifique que as funções seguintes são soluções das equações diferenciais dadas:
,