Verifique que as funções seguintes são soluções das equações diferenciais dadas:
,
, para
Passo 1
Beleza! A gente tem uma função
e a sua derivada
, onde
. O objetivo é verificar se essas funções são soluções de uma equação diferencial específica. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre derivadas e como elas se relacionam com equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que uma função é solução de uma equação diferencial. Basicamente, isso quer dizer que, ao substituir a função e suas derivadas na equação, ela satisfaz a igualdade. Então, precisamos achar uma equação diferencial que envolva
e
, e verificar se a função dada resolve essa equação.
Passo 3
Vamos começar calculando a segunda derivada de
para montar a equação diferencial. Já temos a primeira derivada:
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Passo 4
Aplicando a regra do quociente na derivada acima:
Simplificando os termos:
Passo 5
Agora, sabemos que a equação diferencial relacionada a essa função pode ser escrita envolvendo
e suas derivadas. Observando a segunda derivada que obtivemos, podemos reescrever a equação diferencial como:
Passo 6
Vamos verificar se
e suas derivadas satisfazem essa equação. Substituindo
na equação:
O que simplifica para:
Resposta
Sim, as funções
e
são soluções da equação diferencial dada.
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Verifique que a função dada é uma solução do problema de valor inicial (PVI):
Verifique que as funções seguintes são soluções das equações diferenciais dadas:
,
Determine todos os valores de
para os quais a função
é solução em todo o intervalo
da equação diferencial
Verifique que as funções seguintes são soluções das equações diferenciais dadas:
,