Determine todos os valores de
com os quais as série convergem ou divergem.
,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir para quais valores de
a série
converge ou diverge. Isso está dentro do estudo de Séries Numéricas e vamos usar o Teste da Integral para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste da Integral. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência ou divergência de uma série comparando-a com uma integral. Se a integral equivalente converge, a série também converge; se a integral diverge, a série diverge.
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Integral à nossa série. Para isso, consideramos a função contínua, positiva e decrescente correspondente ao termo geral da série:
Agora, vamos calcular a integral imprópria de
de 2 até o infinito:
Passo 4
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição para simplificar. Vamos deixar
, então
. Substituindo na integral:
Passo 5
Agora, a integral ficou mais simples:
Essa é uma integral do tipo
, que sabemos que converge se
e diverge se
.
Passo 6
Aplicando o resultado da integral ao nosso caso:
- Se
, a integral converge, então a série também converge. - Se
, a integral diverge, então a série também diverge.
Resposta
A série
converge para todos os valores de
maiores que 1 e diverge para
.
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que contém a soma da série
.
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