Determine todos os valores de p com os quais as série convergem ou divergem. sumk=2^infty 1k(ln k)^p,

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir para quais valores de a série converge ou diverge. Isso está dentro do estudo de Séries Numéricas e vamos usar o Teste da Integral para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste da Integral. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência ou divergência de uma série comparando-a com uma integral. Se a integral equivalente converge, a série também converge; se a integral diverge, a série diverge.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Integral à nossa série. Para isso, consideramos a função contínua, positiva e decrescente correspondente ao termo geral da série:
f(x) = 1x(ln x)^p
Agora, vamos calcular a integral imprópria de integral2^infty 1x(ln x)^p , dx de 2 até o infinito:

Passo 4

Para resolver essa integral, fazemos uma substituição para simplificar. Vamos deixar integralt=ln 2^t=infty 1t^p , dt , então . Substituindo na integral:

Passo 5

Agora, a integral ficou mais simples:
integralln 2^infty 1t^p , dt
Essa é uma integral do tipo , que sabemos que converge se e diverge se .

Passo 6

Aplicando o resultado da integral ao nosso caso:
  • Se , a integral converge, então a série também converge.
  • Se , a integral diverge, então a série também diverge.

Resposta

A série converge para todos os valores de maiores que 1 e diverge para .

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