Utilize o Teste de Comparação para determinar se as séries convergem ou divergem.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar o Teste de Comparação para descobrir se a série
converge ou diverge. Então, precisamos entender um pouco sobre séries infinitas, o Teste de Comparação e como aplicá-lo nessa situação.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste de Comparação. Esse teste é útil para determinar a convergência ou divergência de uma série comparando-a com outra série conhecida. A ideia é encontrar uma série mais simples que seja maior ou menor que a nossa, e saber se essa série simples converge ou diverge.
No nosso caso, temos a série
. Vamos analisar o comportamento do termo geral quando
fica grande, pois isso ajuda a entender o comportamento da série como um todo.
Passo 3
Vamos simplificar o termo geral da série:
Quando
é grande,
pode ser aproximado por
. Então, o termo fica aproximadamente:
Isso significa que, para valores grandes de
, nosso termo geral se comporta como
.
Passo 4
Sabemos que a série
é uma série p e ela converge se
e diverge se
.
No nosso caso, temos
, que é menor que 1. Então, a série
diverge.
Passo 5
Agora, vamos comparar nossa série original com essa série p que diverge. Observe que para
:
Como
diverge e nossos termos são maiores ou iguais a esses termos, pelo Teste de Comparação, nossa série original também diverge.
Resposta
A série
diverge.
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Encontre um intervalo usando o valor
que contém a soma da série
.
Determine todos os valores de
com os quais as série convergem ou divergem.
,
Utilize o Teste de Comparação com Limite para determinar se as séries convergem ou divergem.
.
Verifique se as séries convergem ou divergem.
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