Utilize o Teste de Comparação para determinar se as séries convergem ou divergem. .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar o Teste de Comparação para descobrir se a série   converge ou diverge. Então, precisamos entender um pouco sobre séries infinitas, o Teste de Comparação e como aplicá-lo nessa situação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste de Comparação. Esse teste é útil para determinar a convergência ou divergência de uma série comparando-a com outra série conhecida. A ideia é encontrar uma série mais simples que seja maior ou menor que a nossa, e saber se essa série simples converge ou diverge.
No nosso caso, temos a série  . Vamos analisar o comportamento do termo geral quando   fica grande, pois isso ajuda a entender o comportamento da série como um todo.

Passo 3

Vamos simplificar o termo geral da série:
Quando   é grande,   pode ser aproximado por  . Então, o termo fica aproximadamente:
Isso significa que, para valores grandes de  , nosso termo geral se comporta como  .

Passo 4

Sabemos que a série   é uma série p e ela converge se   e diverge se  .
No nosso caso, temos  , que é menor que 1. Então, a série   diverge.

Passo 5

Agora, vamos comparar nossa série original com essa série p que diverge. Observe que para  :
Como   diverge e nossos termos são maiores ou iguais a esses termos, pelo Teste de Comparação, nossa série original também diverge.

Resposta

A série   diverge.

Exercícios relacionados

Encontre um intervalo usando o valor que contém a soma da série .
Determine todos os valores de com os quais as série convergem ou divergem. ,
Utilize o Teste de Comparação com Limite para determinar se as séries convergem ou divergem. .
Verifique se as séries convergem ou divergem. ,