Utilize o Teste de Comparação para determinar se as séries convergem ou divergem. sumk=0^infty raizk+1raizk^2+3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar o Teste de Comparação para descobrir se a série  sumk=0^infty raizk+1raizk^2+3 converge ou diverge. Então, precisamos entender um pouco sobre séries infinitas, o Teste de Comparação e como aplicá-lo nessa situação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste de Comparação. Esse teste é útil para determinar a convergência ou divergência de uma série comparando-a com outra série conhecida. A ideia é encontrar uma série mais simples que seja maior ou menor que a nossa, e saber se essa série simples converge ou diverge.
No nosso caso, temos a série  sumk=0^infty raizk+1raizk^2+3. Vamos analisar o comportamento do termo geral quando  k fica grande, pois isso ajuda a entender o comportamento da série como um todo.

Passo 3

Vamos simplificar o termo geral da série:
raizk + 1raizk^2 + 3
Quando  k é grande,  raizk^2 + 3 pode ser aproximado por  raizk^2 = k. Então, o termo fica aproximadamente:
raizkk = 1raizk = 1k^1/2
Isso significa que, para valores grandes de  k, nosso termo geral se comporta como  1k^1/2.

Passo 4

Sabemos que a série  sumk=1^infty 1k^p é uma série p e ela converge se  p > 1 e diverge se  p <= 1.
No nosso caso, temos  p = 12, que é menor que 1. Então, a série  sumk=1^infty 1k^1/2 diverge.

Passo 5

Agora, vamos comparar nossa série original com essa série p que diverge. Observe que para  k >= 1:
raizk + 1raizk^2 + 3 >= raizkraizk^2 + 3 approx raizkk = 1k^1/2
Como  sum 1k^1/2 diverge e nossos termos são maiores ou iguais a esses termos, pelo Teste de Comparação, nossa série original também diverge.

Resposta

A série  sumk=0^infty raizk+1raizk^2+3 diverge.

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