Encontre um intervalo usando o valor n=10 que contém a soma da série S=sumk=1^infty 1k^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um intervalo que contenha a soma da série , usando o valor . Isso envolve conceitos de séries infinitas e a forma de estimar a soma total a partir de uma soma parcial. Para isso, vamos calcular a soma dos primeiros 10 termos e depois estimar o erro dessa aproximação para definir o intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a soma parcial S10 = sumk=1^10 1k^2 = 11^2 + 12^2 + 13^2 + dots + 110^2 , que é a soma dos primeiros 10 termos da série:
11^2 &= 1.0000 12^2 &= 0.2500 13^2 &= 0.1111 14^2 &= 0.0625 15^2 &= 0.0400 16^2 &= 0.0278 17^2 &= 0.0204 18^2 &= 0.0156 19^2 &= 0.0123 110^2 &= 0.0100
Calculando cada termo:
S10 approx 1.0000 + 0.2500 + 0.1111 + 0.0625 + 0.0400 + 0.0278 + 0.0204 + 0.0156 + 0.0123 + 0.0100 = 1.5493
Somando todos esses valores:

Passo 3

Agora, vamos estimar o erro dessa aproximação para saber quão perto R10 <= integral10^infty 1x^2 ,dx = [ -1x ]10^infty = 0 - ( -110 ) = 110 = 0.1000 está da soma total S10 <= S <= S10 + R10 . Como a série 1.5493 <= S <= 1.5493 + 0.1000 Rightarrow 1.5493 <= S <= 1.6493 é uma série alternada e decrescente, podemos usar o Teste da Integral para estimar o resto .
A estimativa do erro é dada por:
Isso significa que a soma total está no intervalo:
Substituindo os valores:

Resposta

O intervalo que contém a soma da série é .

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