Encontre um intervalo usando o valor que contém a soma da série .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um intervalo que contenha a soma da série , usando o valor . Isso envolve conceitos de séries infinitas e a forma de estimar a soma total a partir de uma soma parcial. Para isso, vamos calcular a soma dos primeiros 10 termos e depois estimar o erro dessa aproximação para definir o intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a soma parcial , que é a soma dos primeiros 10 termos da série:
Calculando cada termo:
Somando todos esses valores:

Passo 3

Agora, vamos estimar o erro dessa aproximação para saber quão perto está da soma total . Como a série é uma série alternada e decrescente, podemos usar o Teste da Integral para estimar o resto .
A estimativa do erro é dada por:
Isso significa que a soma total está no intervalo:
Substituindo os valores:

Resposta

O intervalo que contém a soma da série é .

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Determine todos os valores de com os quais as série convergem ou divergem. ,
Verifique se as séries convergem ou divergem. ,
Utilize o Teste de Comparação para determinar se as séries convergem ou divergem. .
Utilize o Teste de Comparação com Limite para determinar se as séries convergem ou divergem. .