Determine todos os valores de
com os quais as série convergem ou divergem.
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é uma série infinita do tipo
. A pergunta é para descobrir para quais valores de
essa série converge (ou seja, soma até um valor finito) ou diverge (soma para o infinito). Vamos precisar entender o que é uma série p e usar o Teste da Série p para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma série p. Uma série p tem a forma geral
, onde
é um número real. O comportamento dessa série depende do valor de
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Série p, que nos diz que:
- Se
, a série converge. - Se
, a série diverge.
Isso significa que o valor de
determina se a soma dos termos vai chegar a um número finito ou não.
Passo 4
Vamos analisar isso mais detalhadamente:
-
Quando
: Os termos diminuem rapidamente o suficiente para que a soma total chegue a um limite finito. Por exemplo, se , temos a famosa série , que converge para . -
Quando
: A série se torna a série harmônica , que é conhecida por divergir, ou seja, a soma cresce sem limite. -
Quando
: Os termos não diminuem suficientemente rápido, fazendo com que a soma continue aumentando para o infinito.
Passo 5
Então, resumindo, para determinar a convergência ou divergência da série
, basta verificar o valor de
:
- Se
, a série converge. - Se
, a série diverge.
Resposta
A série
converge para todos os valores de
maiores que 1 e diverge para valores de
menores ou iguais a 1.
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,
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.
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,