Determine todos os valores de p com os quais as série convergem ou divergem. sumk=1^infty 1k^p

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma série infinita do tipo sumk=1^infty 1k^p. A pergunta é para descobrir para quais valores de p essa série converge (ou seja, soma até um valor finito) ou diverge (soma para o infinito). Vamos precisar entender o que é uma série p e usar o Teste da Série p para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma série p. Uma série p tem a forma geral sumk=1^infty 1k^p, onde p é um número real. O comportamento dessa série depende do valor de p.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Série p, que nos diz que:
  • Se p > 1, a série sumk=1^infty 1k^p converge.
  • Se p <= 1, a série diverge.
Isso significa que o valor de p determina se a soma dos termos vai chegar a um número finito ou não.

Passo 4

Vamos analisar isso mais detalhadamente:
  • Quando p > 1: Os termos 1k^p diminuem rapidamente o suficiente para que a soma total chegue a um limite finito. Por exemplo, se p = 2, temos a famosa série sumk=1^infty 1k^2, que converge para pi^26.
  • Quando p = 1: A série se torna a série harmônica sumk=1^infty 1k, que é conhecida por divergir, ou seja, a soma cresce sem limite.
  • Quando p < 1: Os termos não diminuem suficientemente rápido, fazendo com que a soma continue aumentando para o infinito.

Passo 5

Então, resumindo, para determinar a convergência ou divergência da série sumk=1^infty 1k^p, basta verificar o valor de p:
  • Se p > 1, a série converge.
  • Se p <= 1, a série diverge.

Resposta

A série sumk=1^infty 1k^p converge para todos os valores de p maiores que 1 e diverge para valores de p menores ou iguais a 1.

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