Determine todos os valores de com os quais as série convergem ou divergem.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma série infinita do tipo . A pergunta é para descobrir para quais valores de essa série converge (ou seja, soma até um valor finito) ou diverge (soma para o infinito). Vamos precisar entender o que é uma série p e usar o Teste da Série p para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma série p. Uma série p tem a forma geral , onde é um número real. O comportamento dessa série depende do valor de .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Série p, que nos diz que:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
Isso significa que o valor de determina se a soma dos termos vai chegar a um número finito ou não.

Passo 4

Vamos analisar isso mais detalhadamente:
  • Quando : Os termos diminuem rapidamente o suficiente para que a soma total chegue a um limite finito. Por exemplo, se , temos a famosa série , que converge para .
  • Quando : A série se torna a série harmônica , que é conhecida por divergir, ou seja, a soma cresce sem limite.
  • Quando : Os termos não diminuem suficientemente rápido, fazendo com que a soma continue aumentando para o infinito.

Passo 5

Então, resumindo, para determinar a convergência ou divergência da série , basta verificar o valor de :
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.

Resposta

A série converge para todos os valores de maiores que 1 e diverge para valores de menores ou iguais a 1.

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Verifique se as séries convergem ou divergem. ,
Utilize o Teste de Comparação com Limite para determinar se as séries convergem ou divergem. .
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Verifique se as séries convergem ou divergem. ,