Verifique se as séries convergem ou divergem. ,

Passo 1

Vamos verificar se a série converge ou divergem. Para isso, vamos utilizar o conteúdo de séries infinitas e testes de convergência. Precisaremos simplificar os termos da série e aplicar o Teste da Comparação para determinar o comportamento da série.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração. Observamos que pode ser fatorado:
Então, a série fica:

Passo 3

Agora, analisamos o comportamento do termo geral quando tende ao infinito. Para isso, observamos o termo dominante no numerador e no denominador:
Isso sugere que, para grandes valores de , o termo da série se comporta como .

Passo 4

Sabemos que a série é a série harmônica, que diverge. Vamos aplicar o Teste da Comparação:
  • Compare a série dada com a série harmônica:
  • Como a série harmônica diverge e os termos da nossa série são comparáveis a ela, podemos concluir que a nossa série também diverge.

Resposta

A série diverge.

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Utilize o Teste de Comparação com Limite para determinar se as séries convergem ou divergem. .
Utilize o Teste de Comparação para determinar se as séries convergem ou divergem. .
Determine todos os valores de com os quais as série convergem ou divergem.
Utilize o Teste de Comparação para determinar se as séries convergem ou divergem.