Verifique se as séries convergem ou divergem. sumk=2^infty k-4k^2-2 k+1,

Passo 1

Vamos verificar se a série sumk=2^infty k-4k^2-2 k+1 converge ou divergem. Para isso, vamos utilizar o conteúdo de séries infinitas e testes de convergência. Precisaremos simplificar os termos da série e aplicar o Teste da Comparação para determinar o comportamento da série.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração. Observamos que k^2-2k+1 pode ser fatorado:
k^2-2k+1 = (k-1)^2
Então, a série fica:
sumk=2^infty k-4(k-1)^2

Passo 3

Agora, analisamos o comportamento do termo geral quando k tende ao infinito. Para isso, observamos o termo dominante no numerador e no denominador:
k-4(k-1)^2 approx kk^2 = 1k
Isso sugere que, para grandes valores de k, o termo da série se comporta como 1k.

Passo 4

Sabemos que a série sumk=1^infty 1k é a série harmônica, que diverge. Vamos aplicar o Teste da Comparação:
  • Compare a série dada com a série harmônica:
0 < k-4(k-1)^2 <= kk^2 = 1k
  • Como a série harmônica sum 1k diverge e os termos da nossa série são comparáveis a ela, podemos concluir que a nossa série também diverge.

Resposta

A série sumk=2^infty k-4k^2-2 k+1 diverge.

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