Verifique se as séries convergem ou divergem.
,
Passo 1
Vamos verificar se a série
converge ou divergem. Para isso, vamos utilizar o conteúdo de séries infinitas e testes de convergência. Precisaremos simplificar os termos da série e aplicar o Teste da Comparação para determinar o comportamento da série.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração. Observamos que
pode ser fatorado:
Então, a série fica:
Passo 3
Agora, analisamos o comportamento do termo geral quando
tende ao infinito. Para isso, observamos o termo dominante no numerador e no denominador:
Isso sugere que, para grandes valores de
, o termo da série se comporta como
.
Passo 4
Sabemos que a série
é a série harmônica, que diverge. Vamos aplicar o Teste da Comparação:
- Compare a série dada com a série harmônica:
- Como a série harmônica
diverge e os termos da nossa série são comparáveis a ela, podemos concluir que a nossa série também diverge.
Resposta
A série
diverge.
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Utilize o Teste de Comparação com Limite para determinar se as séries convergem ou divergem.
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Utilize o Teste de Comparação para determinar se as séries convergem ou divergem.
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Determine todos os valores de
com os quais as série convergem ou divergem.
Utilize o Teste de Comparação para determinar se as séries convergem ou divergem.