Utilize o Teste de Comparação para determinar se as séries convergem ou divergem. sumk=2^infty k+2k^2-k

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma série infinita:
sumk=2^infty k+2k^2-k
A pergunta é para usar o Teste de Comparação para descobrir se essa série converge ou diverge. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como comparar essa série com outra que já sabemos se ela converge ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para entender melhor como ele se comporta conforme k+2k^2-k aumenta. Temos:
k^2 - k = k(k - 1)
Podemos fatorar o denominador:
k+2k(k - 1)
Então, a expressão fica:
k+2k(k - 1) = kk(k - 1) + 2k(k - 1) = 1k - 1 + 2k(k - 1)
Agora, vamos dividir o numerador pelos fatores do denominador:
Observando os termos, percebemos que para grande, o termo dominante é , já que se comporta como .

Passo 3

Agora, vamos usar o Teste de Comparação. Esse teste nos permite comparar nossa série com outra série conhecida para determinar se ela converge ou diverge.
Sabemos que a série harmônica:
sumk=1^infty 1k
diverge. Como vimos no passo anterior, nosso termo geral é comparável a para valores grandes de .
Então, se a série que a gente está comparando (no caso, a série harmônica) diverge, e os termos da nossa série são maiores ou iguais aos termos da série divergente para grande, podemos concluir que a nossa série também diverge.

Passo 4

Vamos formalizar a comparação. Observamos que para k+2k^2-k = 1k - 1 + 2k(k - 1) >= 1k :
sumk=2^infty 1k
Como já sabemos que:
diverge, e nossos termos são maiores ou iguais a , pelo Teste de Comparação, a série dada também diverge.

Resposta

A série diverge.

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