Utilize o Teste de Comparação para determinar se as séries convergem ou divergem.
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é uma série infinita:
A pergunta é para usar o Teste de Comparação para descobrir se essa série converge ou diverge. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como comparar essa série com outra que já sabemos se ela converge ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para entender melhor como ele se comporta conforme
aumenta. Temos:
Podemos fatorar o denominador:
Então, a expressão fica:
Agora, vamos dividir o numerador pelos fatores do denominador:
Observando os termos, percebemos que para
grande, o termo dominante é
, já que
se comporta como
.
Passo 3
Agora, vamos usar o Teste de Comparação. Esse teste nos permite comparar nossa série com outra série conhecida para determinar se ela converge ou diverge.
Sabemos que a série harmônica:
diverge. Como vimos no passo anterior, nosso termo geral
é comparável a
para valores grandes de
.
Então, se a série que a gente está comparando (no caso, a série harmônica) diverge, e os termos da nossa série são maiores ou iguais aos termos da série divergente para
grande, podemos concluir que a nossa série também diverge.
Passo 4
Vamos formalizar a comparação. Observamos que para
:
Como já sabemos que:
diverge, e nossos termos são maiores ou iguais a
, pelo Teste de Comparação, a série dada também diverge.
Resposta
A série
diverge.
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