Utilize o Teste de Comparação com Limite para determinar se as séries convergem ou divergem. .

Passo 1

Beleza, o exercício quer que a gente use o Teste de Comparação com Limite para descobrir se a série converge ou diverge. A gente vai precisar entender um pouco sobre séries infinitas e como funciona esse teste de comparação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste de Comparação com Limite. Essencialmente, a gente compara a série que está tentando analisar com outra série que já sabemos se converge ou diverge. A gente calcula o limite da razão entre os termos das duas séries. Se esse limite for um número positivo e finito, as duas séries vão ter o mesmo comportamento: se uma converge, a outra também, e se uma diverge, a outra também.

Passo 3

Agora, vamos escolher uma série para comparar. Observando o termo da nossa série , percebemos que para valores grandes de , é bem pequeno. Sabemos que quando é pequeno, . Então, nosso termo se comporta parecido com . Vamos comparar com a série , que é uma série p com e sabemos que essa série converge.

Passo 4

Vamos calcular o limite da razão entre os termos das duas séries:
Sabemos que quando se aproxima de 0, , então:

Passo 5

Como o limite calculado é 1, que é um número positivo e finito, pelo Teste de Comparação com Limite, as duas séries têm o mesmo comportamento. Como a série converge, a nossa série original também converge.

Resposta

A série converge.

Exercícios relacionados

Utilize o Teste de Comparação para determinar se as séries convergem ou divergem. .
Encontre um intervalo usando o valor que contém a soma da série .
Verifique se as séries convergem ou divergem. ,
Determine todos os valores de com os quais as série convergem ou divergem.