Utilize o Teste de Comparação com Limite para determinar se as séries convergem ou divergem.
.
Passo 1
Beleza, o exercício quer que a gente use o Teste de Comparação com Limite para descobrir se a série
converge ou diverge. A gente vai precisar entender um pouco sobre séries infinitas e como funciona esse teste de comparação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste de Comparação com Limite. Essencialmente, a gente compara a série que está tentando analisar com outra série que já sabemos se converge ou diverge. A gente calcula o limite da razão entre os termos das duas séries. Se esse limite for um número positivo e finito, as duas séries vão ter o mesmo comportamento: se uma converge, a outra também, e se uma diverge, a outra também.
Passo 3
Agora, vamos escolher uma série para comparar. Observando o termo da nossa série
, percebemos que para valores grandes de
,
é bem pequeno. Sabemos que quando
é pequeno,
. Então, nosso termo
se comporta parecido com
. Vamos comparar com a série
, que é uma série p com
e sabemos que essa série converge.
Passo 4
Vamos calcular o limite da razão entre os termos das duas séries:
Sabemos que quando
se aproxima de 0,
, então:
Passo 5
Como o limite calculado é 1, que é um número positivo e finito, pelo Teste de Comparação com Limite, as duas séries têm o mesmo comportamento. Como a série
converge, a nossa série original também converge.
Resposta
A série
converge.
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Utilize o Teste de Comparação para determinar se as séries convergem ou divergem.
.
Encontre um intervalo usando o valor
que contém a soma da série
.
Verifique se as séries convergem ou divergem.
,
Determine todos os valores de
com os quais as série convergem ou divergem.